Verständnisfrage Folge/Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Do 11.12.2008 | | Autor: | gossyk |
hallo, ich habe eine verständnisfrage, keine wirkliche aufgabe.
im rahmen einer konvergenzuntersuchung von einer folge bin ich auf folgende ...ich nenne es mal umformung gestoßen:
[mm] \summe_{k=2}^{n+2}\bruch{1}{k+n} [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+n}
[/mm]
=> [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n+2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
ich verstehe nicht, wie man von dem Summenterm auf das folgende kommt.
ich verstehe schon, was das folgende zu bedeuten hat, denn ich habe mir beispiele der summenterme für n=1, n=2, n=3 usw angeguckt, und die Terme nach der "umformung" stimmen genau mit den summanden überein, die nicht in beiden reihen enthalten sind...
aber wie kommt man von der darstellung mit dem summenzeichen auf die daraus folgenden terme?
ist es die einzige möglcihkeit sich beispiele anzuschauen und sich dann diese terme zu "erschließen" oder gibt es eine art rechenregel mit den summenzeichen-termen, die mich dorthin bringt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Do 11.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo gossyk!
Mit den Summenzeichen kannst du genauso rechnen, wie mit jeder anderen Summe auch (denn nichts anderes ist dieses [mm] $\summe$ [/mm] ja ...).
[mm] $$\blue{\summe_{k=2}^{n+2}\bruch{1}{k+n}}-\red{\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+n}}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \left(\blue{\summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{k+n}+\summe_{k=n+1}^{n+2}\bruch{1}{k+n}}\right)-\left(\red{\summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{k+n}+\summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{k+n}}\right)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \left(\summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{k+n}+\bruch{1}{n+1+n}+\bruch{1}{n+2+n}\right)-\left(\bruch{1}{1+n}+\summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{k+n}\right)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \green{\summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{k+n}}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}-\bruch{1}{1+n} [/mm] \ [mm] \green{-\summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{k+n}}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}-\bruch{1}{1+n}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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