Verständnisfrage Banachraum < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:30 Sa 08.10.2016 | | Autor: | Lohrre |
Hallo,
eine Frage; Wenn ich eine Menge definiere, die stetige Funktionen enthält und sage, diese Menge ist abgeshclossen bzgl.der Supremumsnorm, ist die Menge dann automatisch ein Banachraum? Wenn ja, warum?
Ich habe mir die Definitionen angeschaut, weiß aber nicht, warum daraus folgen soll, dass diese Menge ein Banachraum ist.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Sa 08.10.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
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> eine Frage; Wenn ich eine Menge definiere, die stetige
> Funktionen enthält und sage, diese Menge ist abgeshclossen
> bzgl.der Supremumsnorm, ist die Menge dann automatisch ein
> Banachraum?
Nein.
> Wenn ja, warum?
> Ich habe mir die Definitionen angeschaut, weiß aber
> nicht, warum daraus folgen soll, dass diese Menge ein
> Banachraum ist.
Warum "diese Menge" ein Banachraum ist, dürfte für uns hellseherisch unbegabte nur schwer zu eruieren sein.
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:13 Sa 08.10.2016 | | Autor: | Lohrre |
Wenn deine erste Antwort "Nein" ist, hat sich die zweite Frage ja ohnehin erübrigt.
Also dein "hellseherisch unbegabt sein" hat sich damit auch erübrigt ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Sa 08.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> eine Frage; Wenn ich eine Menge definiere, die stetige
> Funktionen enthält und sage, diese Menge ist abgeshclossen
> bzgl.der Supremumsnorm, ist die Menge dann automatisch ein
> Banachraum? Wenn ja, warum?
> Ich habe mir die Definitionen angeschaut, weiß aber
> nicht, warum daraus folgen soll, dass diese Menge ein
> Banachraum ist.
Auch ich habe heute nicht meinen Hellsehertag !
Nennen wir Deine Menge mal M. Dann besteht M aus stetigen Funktionen $f:D [mm] \to \IK$, [/mm] wobei [mm] \IK=\IR [/mm] oder = [mm] \IC [/mm] ist und D z.B. eine kompakte Teilmenge von [mm] \IK [/mm] ist ( Teilmenge von [mm] \IK^n [/mm] geht auch). Wo wird kompakt benötigt ?
Wenn M die Chance haben soll ein Banachraum zu sein (mit der sup -Norm), so muß M ein [mm] \IK [/mm] - Vektorraum sein (M muss also abgeschlossen sein bezügl. punktweiser Addition und Skalarmultiplikation).
Wenn das der Fall ist, so ist also M ein, bezgl. der sup-Norm, ein abgeschlossener Unterraum von X, wobei X die Menge aller stetigen Funktionen $f:D [mm] \to \IK$ [/mm] ist.
X ist bekanntlich, mit der sup-Norm, ein Banachraum.
Nun gilt der allgemeine
SATZ: Ein abgeschlossener Unterraum eines Banachraumes ist ein Banachraum.
Versuche nun, diesen Satz zu zeigen. Aus ihm folgt: obige Menge M ist (unter den genannten Vor.) ein Banachraum.
>
> LG
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