Verständnisfrage < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Sa 05.02.2011 | | Autor: | ilfairy |
| Aufgabe | Ist die folgende Aussage wahr oder falsch?
Jede in einem Punkt [mm]x_0 \in \IR^n[/mm] stetige Funktion [mm]f: \IR^n \rightarrow \IR[/mm] ist dort partiell differenzierbar. |
Hallo alle zusammen!
Die Aussage ist falsch und ich habe ehrlich gesagt nicht die geringste Ahnung warum! Wenn sich die Funktion doch in einer kleinen Umgebung von [mm]x_0[/mm] stetig verhält, muss doch auch der Grenzwert der Definition der part. Abl. dort existieren - oder etwa nicht?!
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
ilfairy
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi ilfairy,
ich würde spontan sagen, dieselbe Begründung, die auch bei Fkt. von [mm] \IR\to\IR [/mm] funktioniert, geht auch hier:
Es kann sein, dass von unterschiedlichen Richtungen, unterschiedliche Grenzwerte rauskommen, also existiert dann der Differenzialquotient nicht. Bsp: f(x,y)=|x||y| ist stetig in (0,1)
aber [mm] \bruch{f(0+h,1)-f(0,1)}{h}=\bruch{|h|}{h}=\begin{cases} 1, & h>0 \\ -1, & h<0 \end{cases} [/mm]
und damit existiert kein eindeutiger GW.
Aber ich lasse die Frage offen, da kann dir bestimmt noch jemand anderes mehr zu sagen.
LG walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Sa 05.02.2011 | | Autor: | frozer |
hi,
mein vorposter hat schon eine gute idee dazu geschrieben....
und zwar gilt diese ausage nicht für
Jede in einem Punkt $ [mm] x_0 \in \IR^n [/mm] $ stetige Funktion $ f: [mm] \IR^n \rightarrow \IR [/mm] $ ist dort partiell differenzierbar.
Ich glaub der wichtige Punkt ist, dass man sich im Prinzip nur eine Funktion ausdenken muss die stetig ist, aber nicht diffbar....
ich wähle z.b.
$ f: [mm] \vektor{x \\ y} \rightarrow [/mm] |x*y|$
Diese ist genau wie die "normale" Betragsfunktion stetig (macht keine komischen Sprünge ist überall definiert etc...) Dies sieht man oder weiß man...^^
um sich die Funktion mal anzusehen empfehle ich:
![[]](/images/popup.gif) http://www.wolframalpha.com/input/?i=abs%28x%29*abs%28y%29
mein vorredner hat ja schon gezeigt dass die Betragsfunktion im [mm] $\IR$ [/mm] nicht differenzierbar ist (oder auch ein "Knick" in der Funktion), das ist ein gutes Anzeichen dafür dass die Funktion nicht diffbar ist.
[Aus wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbar#Partielle%20Diffenrenzierbarkeit]
Die Funktion f heißt partiell differenzierbar am Punkt a in Richtung xi, falls die partielle Ableitung
[mm] $\frac{\partial f }{\partial x_i}(a)= \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_{i-1}, a_i + h, a_{i+1}, \dots, a_n) - f(a)}{h}$
[/mm]
existiert. Man betrachtet also alle Variablen bis auf [mm] x_i [/mm] als konstant und betrachtet die so erhaltene Funktion einer Veränderlichen.
Also Betrachte:
[mm] $\frac{\partial f }{\partial x}(x_i) [/mm] = [mm] \frac{\partial d}{\partial d x}(|x| [/mm] |y|) = [mm] \frac{x \wurzel(y^2)}{\wurzel(x^2)}$ [/mm] bzw
[mm] $\frac{\partial f }{\partial y}(x_i) [/mm] = [mm] \frac{\partial d}{\partial d y}(|x| [/mm] |y|) = [mm] \frac{\wurzel(x^2) y}{\wurzel(y^2)}$
[/mm]
du wirst feststellen dass du auch hier einmal
-1 bzw 1 als GW rausbekommst => nicht diffbar
um es nochmal zusammen zufassen:
aus NICHT stetig folgt NICHT diffbar
aus diffbar folgt stetig
aber es (gilt nicht immer) aus stetig folgt diffbar....
grüße
hoffe hab alles richtig eingegeben ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:34 Mi 16.02.2011 | | Autor: | ilfairy |
Hallo ihr Lieben!
Vielen Dank für eure Antworten! Jetzt hab ich's verstanden - und bei der Gelegenheit bemerkt, dass ich ebenfalls Funktionen, in denen Betrag vorkommt, nochmal lernen muss!
Gute Nacht!
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