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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:51 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Weise die folgenden Gleichungen durch geeignete Umformungen nach.
[mm] (a)\summe_{k=10}^{50}(k^{2}+2k+1)=\summe_{k=11}^{51}k^{2}=45141
[/mm]
[mm] (b)=\summe_{k=0}^{20}(k^{2}+2k+1)=\summe_{k=1}^{20}k^{2}+2*[\summe_{k=1}^{20}k]+21=3311 [/mm] |
Hallo nochmal^^
Ich weiß nicht genau was mit den Umformungen gemeint ist.
Soll das einfach nur heißen,dass man bei der (a) zum Beispiel für [mm] k^{2} [/mm] alle Zahlen von 11 bis 51 einsetzt und nachguckt ob da 45141 rauskommt?
Oder wie soll man das denn "umformen" ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Disap |
> Weise die folgenden Gleichungen durch geeignete Umformungen
> nach.
>
> [mm](a)\summe_{k=10}^{50}(k^{2}+2k+1)=\summe_{k=11}^{51}k^{2}=45141[/mm]
>
> [mm](b)=\summe_{k=0}^{20}(k^{2}+2k+1)=\summe_{k=1}^{20}k^{2}+2*[\summe_{k=1}^{20}k]+21=3311[/mm]
> Hallo nochmal^^
>
> Ich weiß nicht genau was mit den Umformungen gemeint ist.
> Soll das einfach nur heißen,dass man bei der (a) zum
> Beispiel für [mm]k^{2}[/mm] alle Zahlen von 11 bis 51 einsetzt und
> nachguckt ob da 45141 rauskommt?
> Oder wie soll man das denn "umformen" ???
Du sollst bei a zeigen, dass
$ [mm] (a)\summe_{k=10}^{50}(k^{2}+2k+1)=summe_{k=11}^{51}k^{2}$
[/mm]
und dann
[mm] $\summe_{k=11}^{51}k^{2}=45141$
[/mm]
oder [mm] $\summe_{k=10}^{50}(k^{2}+2k+1) [/mm] = 45141$
Die Beziehung
$ [mm] (a)\summe_{k=10}^{50}(k^{2}+2k+1)=\summe_{k=11}^{51}k^{2}$
[/mm]
ist klar, denn
[mm] $\summe_{k=10}^{50}(k^{2}+2k+1) [/mm] = [mm] \sum_{k=10}^{50}(k+1)^2 [/mm] = [mm] \sum_{k=11}^{51}k^2$
[/mm]
Jetzt darfst du noch zeigen, dass [mm] $\sum_{k=11}^{51}k^2 [/mm] = 45141$
Du kannst auch einfach zeigen, dass
1) [mm] $\summe_{k=10}^{50}(k^{2}+2k+1)=45141$
[/mm]
2) [mm] $\summe_{k=11}^{51}k^{2}=45141 [/mm] $
Du sollst halt zeigen, dass alle drei Terme gleich sind.
Bekommst du das hin?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay,dann setz ich ja einfach nur noch für k die Werte ein und schau nach obs stimmt.
Aber wie ist das denn bei der b?Also ich kann ja schreiben [mm] \summe_{k=0}^{20}(k^{2}+2k+1)=\summe_{k=0}^{20}(k+1)^{2},aber [/mm] wie kann ich das denn sonst noch umformen?
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Hallo Mandy_90!
> okay,dann setz ich ja einfach nur noch für k die Werte ein
> und schau nach obs stimmt.
> Aber wie ist das denn bei der b?Also ich kann ja schreiben
> [mm]\summe_{k=0}^{20}(k^{2}+2k+1)=\summe_{k=0}^{20}(k+1)^{2},aber[/mm]
> wie kann ich das denn sonst noch umformen?
Ich würde einfach die Gleichheit, die da in deiner Aufgabe schon steht nehmen. Und dann gibt es da ja Formeln für die Summe der ersten Zahlen oder auch Quadratzahlen. Damit sollte das eigentlich direkt klappen, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Mi 03.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo mandy
Wenn dieses ne Aufgabe ist habt ihr sicher die Formel
[mm] \summe_{i=1}^{n}i^2=n(*n+1)*(2n+1)/6 [/mm] gehabt und sollt sie anwenden, und nicht mit dem TR 40 Quadrate addieren!
Denk dran, wenn man etwavon 50 bis 100 summiert kann man auch von 1 bis 100 summieren und die Summe von 1 bis 49 abziehen !
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo
ok,dann mach ich das jetzt mir der Summenformel.
(a) [mm] \summe_{k=10}^{50} (k^{2}+2k+1)=\summe_{k=11}^{51} k^{2}=45141
[/mm]
Um die Summenformel zu benutzen muss ich ja bei k=1 anfangen,dann schreib ich doch [mm] \summe_{k=11}^{51} k^{2}=\summe_{k=1}^{41} k^{2}+10 [/mm] oder?
Aber dann kann ich die ja Summenformel doch nciht anwenden weil da +10 steht.Irgendwie komm ich hier nicht weiter.Und bei [mm] \summe_{k=10}^{50} (k^{2}+2k+1) [/mm] kann ich die doch auch nicht anwenden oder?
(b) [mm] \summe_{k=1}^{20} k^{2}+2*(\summe_{k=1}^{20}+1=3311
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{20} k^{2}=\bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{20*(20+1)*(2*20+1)}{6} [/mm] =2870
[mm] \summe_{k=1}^{20} k=\bruch{n*(n+1)}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{20*(20+1)}{2}=210
[/mm]
2870+2+(210)=3311
Hier hab ich zwar die Summenformel benutzt aber nicht auf [mm] \summe_{k=0}^{20} (k^{2}+2k+1).Kann [/mm] man die nicht noch auf diesen Term anwenden?
lg
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Hallo Mandy,
> Hallo
>
> ok,dann mach ich das jetzt mir der Summenformel.
>
> (a) [mm]\summe_{k=10}^{50} (k^{2}+2k+1)=\summe_{k=11}^{51} k^{2}=45141[/mm]
>
> Um die Summenformel zu benutzen muss ich ja bei k=1
> anfangen,dann schreib ich doch [mm]\summe_{k=11}^{51} k^{2}=\summe_{k=1}^{41} k^{2}+10[/mm]
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") wie kommst du darauf?
leduart hat doch geschrieben, dass du, um [mm] $\sum\limits_{k=11}^{51}k^2$ [/mm] zu berechnen von 1-51 summieren kannst und dann nochmal von 1-10 und die letzte Summe abziehen, also
[mm] $\sum\limits_{k=11}^{51}=\left(\sum\limits_{k=1}^{51}k^2\right) [/mm] \ - \ [mm] \left(\sum\limits_{k=1}^{10}k^2\right)$
[/mm]
> oder?
> Aber dann kann ich die ja Summenformel doch nciht anwenden
> weil da +10 steht.Irgendwie komm ich hier nicht weiter.Und
> bei [mm]\summe_{k=10}^{50} (k^{2}+2k+1)[/mm] kann ich die doch auch
> nicht anwenden oder?
>
> (b) [mm] $\summe_{k=1}^{20} k^{2}+2*(\summe_{k=1}^{20}\red{k})+\red{2}1=3311$
[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{20} k^{2}=\bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{20*(20+1)*(2*20+1)}{6}[/mm] =2870 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\summe_{k=1}^{20} k=\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{20*(20+1)}{2}=210[/mm]
>
> 2870+2+(210)=3311
hmmm, du meinst [mm] $2870+2\cdot{}210+21=3311$
[/mm]
>
> Hier hab ich zwar die Summenformel benutzt aber nicht auf
> [mm]\summe_{k=0}^{20} (k^{2}+2k+1).Kann[/mm] man die nicht noch auf
> diesen Term anwenden?
Nein, aber du brauchst ja auch nur die Gleichheit mit dem zweiten Summenausdruck zeigen, für den hast du ja den Summenwert mit der obigen Formel berechnet.
Zerlege dazu mal die Summe in ihre Bestandteile:
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{20}(k^2+2k+1)=\sum\limits_{k=0}^{20}k^2 [/mm] \ + \ [mm] \sum\limits_{k=0}^{20}2k [/mm] \ + \ [mm] \sum\limits_{k=0}^{20}1$
[/mm]
Jetzt forme das noch ein wenig weiter um, bis da [mm] $...=\sum\limits_{k=1}^{20}k^2 [/mm] \ + \ [mm] \left(2\sum\limits_{k=1}^{20}k\right) [/mm] \ + \ 21$ steht
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 07.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
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> Nein, aber du brauchst ja auch nur die Gleichheit mit dem
> zweiten Summenausdruck zeigen, für den hast du ja den
> Summenwert mit der obigen Formel berechnet.
>
> Zerlege dazu mal die Summe in ihre Bestandteile:
>
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{20}(k^2+2k+1)=\sum\limits_{k=0}^{20}k^2 \ + \ \sum\limits_{k=0}^{20}2k \ + \ \sum\limits_{k=0}^{20}1[/mm]
>
> Jetzt forme das noch ein wenig weiter um, bis da
> [mm]...=\sum\limits_{k=1}^{20}k^2 \ + \ \left(2\sum\limits_{k=1}^{20}k\right) \ + \ 21[/mm]
> steht
hmm,also [mm] \summe_{k=0}^{20}2k [/mm] kann ich ja schreiben als [mm] 2*\summe_{k=0}^{20}k [/mm] und [mm] \summe_{k=ß}^{20}1=1,kann [/mm] ich dann anstatt k=0 einfach K=1 schreiben? aber wie kommt man denn auf die +21?
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Hallo Mandy,
>
> >
> > Nein, aber du brauchst ja auch nur die Gleichheit mit dem
> > zweiten Summenausdruck zeigen, für den hast du ja den
> > Summenwert mit der obigen Formel berechnet.
> >
> > Zerlege dazu mal die Summe in ihre Bestandteile:
> >
> > [mm]\sum\limits_{k=0}^{20}(k^2+2k+1)=\sum\limits_{k=0}^{20}k^2 \ + \ \sum\limits_{k=0}^{20}2k \ + \ \sum\limits_{k=0}^{20}1[/mm]
>
> >
> > Jetzt forme das noch ein wenig weiter um, bis da
> > [mm]...=\sum\limits_{k=1}^{20}k^2 \ + \ \left(2\sum\limits_{k=1}^{20}k\right) \ + \ 21[/mm]
> > steht
>
>
> hmm,also [mm]\summe_{k=0}^{20}2k[/mm] kann ich ja schreiben als
> [mm]2*\summe_{k=0}^{20}k[/mm] und [mm]\summe_{k=0}^{20}1=1 [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") ,kann ich dann
> anstatt k=0 einfach K=1 schreiben?
Das kannst du dir selbst beantworten:
Wie lautet denn in der Summe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{20}k$ [/mm] bzw. in der Summe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{20}k^2$ [/mm] der erste Summand, also der für k=0?
> aber wie kommt man denn
> auf die +21?
Die Summe hast du oben falsch berechnet.
Da steht ja [mm] $\sum\limits_{k=0}^{20}1$
[/mm]
Das ist nichts anderes als $=1+1+1+....+1$
Nun die Frage: du summierst von k=0 bis k=20
Wieviele Summanden, also wieviele 1en hast du hier also?
Und die ergeben aufsummiert ...
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> > Wie lautet denn in der Summe [mm]\sum\limits_{k=0}^{20}k[/mm] bzw.
> > in der Summe [mm]\sum\limits_{k=0}^{20}k^2[/mm] der erste Summand,
> > also der für k=0?
>
> Stimmt ja der erste SUmmand ist dann 0 also kann ich den
> auch weglassen und grad von k=1 summieren ?
Ja, die Null in einer Summe tut nicht weh, die kannste weglassen
>
> > > aber wie kommt man denn
> > > auf die +21?
> >
> > Die Summe hast du oben falsch berechnet.
> >
> > Da steht ja [mm]\sum\limits_{k=0}^{20}1[/mm]
> >
> > Das ist nichts anderes als [mm]=1+1+1+....+1[/mm]
> >
> > Nun die Frage: du summierst von k=0 bis k=20
> >
> > Wieviele Summanden, also wieviele 1en hast du hier also?
> >
> > Und die ergeben aufsummiert ...
>
> Ja dann hab ich ja genau 21 Summanden also ist das ganze
> =21 ?
Ganz genau!
So ist's richtig
Gruß
schachuzipus
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