Verständnisfrage < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Warum ist [mm] \IZ [/mm] / [mm] n\IZ [/mm] für n prim Körper und für n prim nur Ring? |
Hallo ihr lieben,
versuche mich an der Aufgabe oben,
habe hier auch den Lösungsweg aber möchte ihn bis ins Detail verstehen :)
Das erste was ich gemacht habe, war mir die Definitionen nochmal zu Körper und Ring anzuschauen bzw. deren Unterschied.
Ich weiß, dass im Ring kein Inverses bezüglich der Multiplikation gefordert wird. Im Körper hingegen schon.
Als nächsten Schritt habe ich hier nun stehen:
Skizze: R = [mm] \IZ [/mm] / [mm] p\IZ [/mm] ist endlich: [mm] R^{x} [/mm] = R OHNE {Nullteiler} = [m] | ggt(m,p) = 1
Hier bekomme ich Probleme.
Ich weiß, dass Einheiten die Invertierbaren Elemente sind.
Also Einheiten = Elemente (im Endl. Körper) ohne die Nullteiler.
Das mit dem GGT verstehe ich aber nicht :(
Könnt ihr mir das bitte irgendwie erklären?
Vielleicht verstehe ich dann die restlichen Rechenschritte.
Vielen dank
steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Do 20.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Für n=p eine Primzahl gilt :
[mm] \IZ/n\IZ [/mm] ist ein Körper.
n=p ist die Primzahlzerlegung.
[mm] \Rightarrow 0\equiv [/mm] k*p (mod n)
Wegen [mm] 1\equiv z^{p-1} [/mm] (mod n) gilt [mm] \forall z\in\IZ/n\IZ [/mm] :
[mm] z*z^{p-2}\equiv [/mm] 1 (mod n) also hat jedes Element die Inverse [mm] z^{p-2}.
[/mm]
Für n keine Primzahl gilt :
[mm] \IZ/n\IZ [/mm] ist kein Körper.
[mm] n=p_1*p_2*...*p_i [/mm] ist die Primzahlzerlegung.
Dann ist [mm] (p_1)*(p_2*...*p_i)\equiv [/mm] 0 (mod n) also [mm] p_1 [/mm] ein Nullteiler ( [mm] ggt(p_1,n)=p_1\not=1 [/mm] ).
Hätte es nun ein Inverses, dann müsste [mm] 0=p_1^{-1}*0\equiv p_1^{-1}*(p_1)*(p_2*...*p_i)\equiv p_2*...*p_i [/mm] (mod n)
Daher gibt es für die Teiler von n keine Inversen.
Zum Test in [mm] \IZ/4\IZ [/mm] die 2 mal überprüfen.
Ciao.
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Ojeeee, entschuldige aber ich verstehe kaum etwas :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Ok, ich versuch das mal anhand von Beispielen.
Erstmal ist n eine Primzahl.
Ich nehme mal n=7.
Dann ist [mm] \IZ/7\IZ=\{0,1,2,3,4,5,6\}. [/mm] Alle Reste die bei Division durch 7 entstehen können.
Man kann nun z.B. [mm] 3*5\equiv 15\equiv 2*7+1\equiv1 [/mm] (mod 7) rechen.
Die Gleichung [mm] 1\equiv z^{p-1} [/mm] (mod n) sagt nun, dass für alle Zahlen gilt, dass [mm] Zahl^{7-1}=Zahl^6\equiv1 [/mm] (mod 7)
z.B. : [mm] 3^6=729=104*7+1\equiv1 [/mm] (mod 7)
Damit gilt [mm] 3^6=3*3^5\equiv1 [/mm] (mod 7)
Somit [mm] 3^5\equiv5 [/mm] (mod 7) die Inverse zur 3.
Und nun n keine Primzahl.
Ich teste mal mit n=6.
Dann ist [mm] \IZ/6\IZ=\{0,1,2,3,4,5\}. [/mm] Alle Reste die bei Division durch 6 entstehen können.
Es gilt 6=3*2.
Daher ist die 3 wegen [mm] 3*2\equiv0 [/mm] (mod 6) ein Nullteiler. Es gilt auch ggT(3,6)=3.
Wenn die 3 nun ein Inverses Element [mm] e_i [/mm] hätte, dann müsste das gelten :
[mm] 0\equiv e_i*0\equiv e_i*(3*2)\equiv (e_i*3)*2\equiv 1*2\equiv [/mm] 2 (mod 6)
Da nicht [mm] 2\equiv0 [/mm] ist, muss es eine Widerspruch in der Vorraussetzung geben. Es gibt also kein Inverses Element.
Du kannst ja mal versuchen eins zu finden.
Ciao.
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Vielen Dank, es ist mir nur ein wenig klarer geworden.
Womit ich aber noch Probleme habe:
[mm] 3^5 \equiv [/mm] 5 (mod 7) ist die Inverse zu 3
-> Hier verstehe ich die Schlussfolgerung das es die Inverse zu 3 ist nicht...
[mm] $(e_i\cdot{}3)\cdot{}2\equiv 1\cdot{}2\equiv2 [/mm] $
Hier verstehe ich nicht woher die 1 kommt..
Liebe Grüße und vielen Dank
steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:47 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Zneques |
In einem Körper ist doch gefordert, dass zu jedem [mm] x\in\IK [/mm] ein Inverses bzgl. der Multiplikation [mm] y\in\IK [/mm] existiert mit x*y=1.
Für [mm] x\in\IR [/mm] ist dies [mm] \bruch{1}{x}, [/mm] da [mm] x*\bruch{1}{x}=1.
[/mm]
Das suchst du nun auch für die Restklassen.
Sein [mm] x\in\IZ/p\IZ [/mm] beliebig. (p ist Primzahl)
Dann gilt [mm] x^{p-1}\equiv1 [/mm] (mod p). (gilt für alle [mm] p\in [/mm] Primzahlen)
Jetzt kann ich doch [mm] x^{p-1} [/mm] in x und [mm] x^{p-2} [/mm] teilen, da [mm] x*x^{p-2}=x^{p-1}.
[/mm]
Das heißt aber doch, dass [mm] x*y=x*x^{p-2}=x^{p-1}\equiv1 [/mm] (mod p). Somit ist [mm] y=x^{p-2} [/mm] genau diese gesuchte Inverse zu x.
In dem Beispiel ist die Inverse zu 3 in [mm] \IZ/7\IZ [/mm] also [mm] 3^5.
[/mm]
In [mm] \IZ/7\IZ [/mm] gibt es aber nur Reste bzgl. der Division durch 7.
[mm] (3^5):7=243:7=34 [/mm] Rest 5
5:7=0 Rest 5
Daher ist [mm] 3^5\equiv5 [/mm] (mod 7)
Zur Kontrolle :
[mm] (3*3^5):7=(3^6):7=729:7=104 [/mm] Rest 1 , bzw.
(3*5):7=15:7=2 Rest 1
Passt.
> $ [mm] (e_i\cdot{}3)\cdot{}2\equiv 1\cdot{}2\equiv2 [/mm] $
> Hier verstehe ich nicht woher die 1 kommt..
[mm] e_i [/mm] soll die multiplikative Inverse zu 3 sein. Daher ist [mm] 3*e_i\equiv1.
[/mm]
Ciao.
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