Verständnisfrage < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Di 14.08.2007 | | Autor: | Steffy |
| Aufgabe | Sei E eine desarguessche euklidische Ebene.
In E sei [mm] \phi [/mm] Produkt zweier verschiedener Punktspiegelungen [mm] \pi_{P} [/mm] und [mm] \pi_{Q}. [/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \phi [/mm] eine Translation entlang der Geraden PQ ist. |
Hallo Zusammen,
die Lösung zu der Aufgabe habe ich zwar, aber ich verstehe einige Stellen nicht (rot markiert).
Hier ist die Lösung:
Da [mm] \pi_{P} \not= \pi_{Q}, [/mm] ist [mm] \phi [/mm] nicht die Identität, es ist also zu zeigen, dass [mm] \phi [/mm] fixpunktfreie Dehnung ist.
[mm] \phi [/mm] ist Dehnung, da [mm] \pi_{P} [/mm] und [mm] \pi_{Q} [/mm] Dehnungen sind und die Dehnungen eine Gruppe bilden.
[mm] \phi [/mm] besitzt keinen Fixpunkt. Da P [mm] \not= [/mm] Q, ist weder F noch Q Fixpunkt. Gäbe es aber ein F [mm] \not= [/mm] P,Q
mit [mm] \pi_{P} \circ \pi_{Q}(F)= [/mm] F würde [mm] \pi_{Q}(F) [/mm] = [mm] \pi_{P}(F) [/mm] folgen. Da Punkstpiegelungen aber durch ein Paar von Bild und Urbild eindeutig bestimmt sind, würde [mm] \pi_{P} [/mm] = [mm] \pi_{Q} [/mm] im Widerspruch zur Annahme folgen.
Ich versteh nicht, wo das F herkommt. Ist es vielleicht ein Schreibfehler vom Prof??
Könnte mir da bitte jemand weiter helfen?
Vielen lieben Dank im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Di 14.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Steffy
1. Schritt: P=einziger Fixpkt von [mm] \pi_p [/mm] entspr. Q also kann weder P noch Q Fixpkt der Zusammensezung sein.
jetz angenommen es gäbe einen anderen Fixpunkt von [mm] \pi_p\circ\pi_q [/mm] dann ....
Der Beweis läuft also in 2 Schritten. für den zweiten braucht man aber dass F weder Fixpkt vom einen noch vom anderen ist.
Gruss leduart
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