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| Aufgabe | A,B Mengen und f : A->B eine Abbildung.
f surjektiv <=> existentz der Abbildung h:B->A mit f(h(b))=b für alle b element B. |
Ich habe eine Frage grundsätzlicher Natur zu Funktionen und Aufgabenstellungen dieser Art wie beschrieben. Ich hab dazu auch eine Lösung, um die soll es allerdings nicht ganz gehen, sondern eher um den Typ von Aufgabenstellung und meinem Verständnis dazu.
Beim Betrachten der Ausgangssituation, wenn man f wie in der Aufgabe definiert annimmt, und dann h folgern möchte mit den Eigenschaften.
Da kann ich das Ganze ja mit einem Mengendiagramm und den Graph der Funktion mit Pfeilen zwischen diesen Mengen andeuten.
Surjektivität heißt ja ganz konkret, dass es für jedes b element B ein a element A gibt. Damit wäre ja die Bildmenge genau f(A) = B. Bildlich gesprochen habe ich zu jedem b ein Pfeil von mindestens einem a. Kann ich genau deshalb davon ausgehen, dass jeder Pfeil umkehrbar ist und damit auch für jedes b element B ein a element A existiert? Oder sagen mir die "vorhandenen Pfeile" von A nach B nichts über die existenz der Pfeile von B nach A aus?
Ich hoffe es wird klar was ich fragen möchte... Vielen Dank für die Hilfe schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Fr 08.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathelernender!
> A,B Mengen und f : A->B eine Abbildung.
> f surjektiv <=> existentz der Abbildung h:B->A mit
> f(h(b))=b für alle b element B.
Besser wäre die Formulierung "Existenz EINER Abbildung" statt "Existenz DER Abbildung", denn eine solche Abbildung ist im Allgemeinen keineswegs eindeutig bestimmt.
> Beim Betrachten der Ausgangssituation, wenn man f wie in
> der Aufgabe definiert annimmt, und dann h folgern möchte
> mit den Eigenschaften.
Du meinst: Bei der Hin-Richtung (bei der man f als surjektiv voraussetzt und die Existenz einer Abbildung h mit den in der Aufgabenstellung genannten Eigenschaften zeigt)?
> Da kann ich das Ganze ja mit einem Mengendiagramm und den
> Graph der Funktion mit Pfeilen zwischen diesen Mengen
> andeuten.
(Ich habe schon die Meinung gelesen, dass diese Veranschaulichung nur für endliche Mengen sinnvoll sei.
Ich sehe dies jedoch anders, solange man bereit ist, sich gegebenenfalls unendlich viele Pfeile vorzustellen.)
> Surjektivität heißt ja ganz konkret, dass es für jedes
> b element B ein a element A gibt.
..., das $f(a)=b$ erfüllt.
> Damit wäre ja die
> Bildmenge genau f(A) = B.
Ja, man kann sich überlegen, dass f genau dann surjektiv ist, wenn $f(A)=B$ gilt.
> Bildlich gesprochen habe ich zu
> jedem b ein Pfeil von mindestens einem a.
Ja (im Falle der Surjektivität von f).
> Kann ich genau
> deshalb davon ausgehen, dass jeder Pfeil umkehrbar ist und
> damit auch für jedes b element B ein a element A
> existiert?
Die Idee zur Konstruktion einer Abbildung h bei der Hin-Richtung besteht in der Tat darin, zu jedem [mm] $b\in [/mm] B$ genau einen zu b führenden "f-Pfeil" auszuwählen und einen in umgekehrte Richtung führenden entsprechenden Pfeil zu einem "h-Pfeil" zu machen.
> Oder sagen mir die "vorhandenen Pfeile" von A
> nach B nichts über die existenz der Pfeile von B nach A
> aus?
Was meinst du mit "Existenz von Pfeilen von B nach A"?
Für jede Abbildung [mm] $h\colon B\to [/mm] A$ führt von jedem Element [mm] $b\in [/mm] B$ genau ein "h-Pfeil" nach A.
Viele Grüße
Tobias
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> Du meinst: Bei der Hin-Richtung (bei der man f als surjektiv voraussetzt und die > Existenz einer Abbildung h mit den in der Aufgabenstellung genannten
> Eigenschaften zeigt)?
Korrekt!
> (Ich habe schon die Meinung gelesen, dass diese Veranschaulichung nur für
> endliche Mengen sinnvoll sei. Ich sehe dies jedoch anders, solange man bereit
> ist, sich gegebenenfalls unendlich viele Pfeile vorzustellen.)
Die Vorstellung kann zwar "schwierig" werden, wenn man es skizzieren möchte, aber damit komme ich zurecht. Das passt schon für mich :).
> Die Idee zur Konstruktion einer Abbildung h bei der Hin-Richtung besteht in
> der Tat darin, zu jedem $ [mm] b\in [/mm] B $ genau einen zu b führenden "f-Pfeil"
> auszuwählen und einen in umgekehrte Richtung führenden entsprechenden
> Pfeil zu einem "h-Pfeil" zu machen.
Mit dieser Idee habe ich meine Probleme. Ich weiß zwar, das f eine Abbildung ist (also linkstotal, rechtseindeutig und zusätzlich surjektiv ist), aber ich kann deshalb doch ganz allgemein eigentlich nicht davon ausgehen, dass h deshalb auch linkstotal sein muss (was ich ja Beweisen muss, sonst wäre h keine Abbildung). Die Eigentschaft von h ist ja so definiert, dass f das Bild von h wieder auf das Urbild von jenem Bild abbildet ("zurückführt"). Abbildung h wird ja zuerst ausgeführt. Dann f. Von f kenne ich die "Pfeile" (bzw. konkret die Eigenschaften). Aber mir wird nicht klar, weshalb h auch linkstotal sein soll.
> Was meinst du mit "Existenz von Pfeilen von B nach A"?
> Für jede Abbildung $ [mm] h\colon B\to [/mm] A $ führt von jedem Element $ [mm] b\in [/mm] B $
> genau ein "h-Pfeil" nach A.
Hier meine ich, dass was ich versucht habe oben anzudeuten. Ich kenne die "Pfeile" von A nach B (aber es wird ja erst h angewendet, dann f), allerdings tu ich mich schwer deshalb auf die "Pfeile" von B nach A zu folgern. Klar, ich muss den "Weg zurückverfolgen" (sofern man das so sagen kann). Aber mir leuchtet nicht ein, wieso h grade linkstotal sein soll / wird...
Viele Grüße,
mathelernender
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> Ich kenne die "Pfeile" von A nach B (aber es wird ja erst h
> angewendet, dann f), allerdings tu ich mich schwer deshalb
> auf die "Pfeile" von B nach A zu folgern. Klar, ich muss
> den "Weg zurückverfolgen" (sofern man das so sagen kann).
> Aber mir leuchtet nicht ein, wieso h grade linkstotal sein
> soll / wird...
Hallo,
behauptet wird:
Ist [mm] f:A\to [/mm] B surjektiv, dann gibt es eine Abbildung [mm] h:B\to [/mm] A mit f(h(b))=b für alle [mm] b\in [/mm] B.
Zunächst einmal - tobit sagte es bereits - wird hier nicht behauptet, daß es nur eine solche Abbildung gibt. U.U. könnte es sein, daß man mehrere Funktionen h findet, die die geforderte Eigenschaft haben.
Behauptet wird, daß man mindestens eine finden kann.
Wie zeigt man das?
Daß man eine finden kann, zeigt man am besten - indem man eine findet...
Und dann zeigt man, daß sie wirklich die geforderte Eigenschaft hat.
Wie findet man sie? Man bastelt sich eine.
Bevor ich losbastele, noch eine kleine Überlegung:
sei [mm] b\in [/mm] B.
Wir betrachten das Urbild [mm] U_b [/mm] von b: [mm] U_b:=\{a\in A| f(a)=b\}.
[/mm]
Für kein [mm] b\in [/mm] B ist das Urbild [mm] U_b [/mm] leer, denn f ist ja surjektiv.
[mm] U_b [/mm] enthält also für jedes b mindestens ein Element.
Nachdem ich mir dies klargemacht habe, kann ich losbasteln.
Sei [mm] h:B\to [/mm] A
mit
[mm] h(b):=a_b, [/mm] wobei [mm] a_b [/mm] irgendein Element aus [mm] U_b [/mm] ist, welches ich mir ausgesucht habe.
Dieses h ist linkstotal, denn jedem Element aus B wird ein Element aus A zugeordnet, weil [mm] U_b [/mm] für jedes b nichtleer ist,
und es ist auch rechtseindeutig, weil ich aus allen Elementen, die in [mm] U_b [/mm] sind, stets eines als Funktionswert auswähle.
h ist also eine Funktion,
und daß f(h(b))=b für alle [mm] b\in [/mm] B gilt, ist leicht gezeigt.
Mal ein Beispiel:
wir betrachten f: [mm] \{1,2,3}\to \{a,b\}
[/mm]
mit
f(1):=a
f(2):=b
f(3):=b.
Es ist
[mm] U_a=\{1\},
[/mm]
[mm] U_b=\{2,3\}.
[/mm]
Ich definiere nun
[mm] h:\{a,b\}\to\{1,2,3\}
[/mm]
mit
h(a):=1
h(b):=2
und stelle fest:
f(h(a))=f(1)=a
f(h(b))=f(2)=b.
Alles bestens!
Die Funktion
[mm] h':\{a,b\}\to\{1,2,3\}
[/mm]
mit
h'(a):=1
h'(b):=3
tut's aber ebenso.
Ich hoffe, daß ich Dein Problem verstanden habe.
Ansonsten mußt Du nochmal nachfragen.
LG Angela
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Hallo Angela,
Du hast mein Problem schon sehr gut erfasst.
Kannst Du mir eventuell die rechtseindeutigkeit etwas näher erläutern?
Denn:
Du sagst Du wählst einen Wert als Funktionswert aus. Das macht Sinn, denn es darf ja kein a, a' [mm] \in [/mm] {A} mit a [mm] \not= [/mm] a' und b [mm] \in [/mm] {B} das gleiche Urbild haben, also h(a)=b und h('a) = b darf ja nicht sein.
Du schreibst:
> Ich definiere nun $ [mm] h:\{a,b\}\to\{1,2,3\} [/mm] $ mit
> h(a):=1
> h(b):=2
Wie schließt Du denn allgemein nun aus, dass nicht noch h(b) = 3 gilt, f bildet ja schließtlich f(3) = b ab. So wäre ja h keine Funktion mehr (habe ich versucht oben anzudeuten).
Ich hoffe Du verstehst was ich meine. Diesen Punkt verstehe ich leider nicht richtig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Sa 09.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Kannst Du mir eventuell die rechtseindeutigkeit etwas
> näher erläutern?
Angela wählt zu jedem [mm] $b\in [/mm] B$ GENAU EIN [mm] $a_b\in U_b$ [/mm] aus.
Nachdem sie diese (willkürlichen) Wahlen getroffen hat, kann sie problemlos eine Abbildung [mm] $h\colon B\to [/mm] A$ durch
[mm] $h(b):=a_b$ [/mm] für alle [mm] $b\in [/mm] B$
definieren.
Die Rechtseindeutigkeit dieser Abbildung bedeutet: Zu jedem [mm] $b\in [/mm] B$ gibt es höchstens ein [mm] $a\in [/mm] A$ mit $h(b)=a$.
Ist dies der Fall?
Ja! $h$ ist so definiert, dass (für jedes [mm] $b\in [/mm] B$) nur [mm] $a=a_b$ [/mm] der Gleichung $h(b)=a$ genügt.
Mit anderen Worten: $h$ ist so definiert, dass jedes [mm] $b\in [/mm] B$ nur auf ein Element abgebildet wird (nämlich auf [mm] $a_b$) [/mm] und auf kein anderes.
> Denn:
> Du sagst Du wählst einen Wert als Funktionswert aus. Das
> macht Sinn, denn es darf ja kein a, a' [mm]\in[/mm] {A} mit a [mm]\not=[/mm]
> a' und b [mm]\in[/mm] {B} das gleiche Urbild haben,
Ja, damit das von uns konstruierte $h$ wirklich eine Abbildung [mm] $h\colon B\to [/mm] A$ ist, darf für kein [mm] $b\in [/mm] B$ sowohl $h(b)=a$ als auch $h(b)=a'$ für gewisse [mm] $a,a'\in [/mm] A$ mit [mm] $a\not=a'$ [/mm] gelten.
> also h(a)=b und
> h('a) = b darf ja nicht sein.
$h$ soll eine Abbildung [mm] $h\colon B\to [/mm] A$ (nicht etwa [mm] $h\colon A\to [/mm] B$) sein!
$h(a)$ und $h(a')$ sind daher im Allgemeinen gar keine sinnvollen Ausdrücke.
> Du schreibst:
>
> > Ich definiere nun [mm]h:\{a,b\}\to\{1,2,3\}[/mm] mit
> > h(a):=1
> > h(b):=2
>
> Wie schließt Du denn allgemein nun aus, dass nicht noch
> h(b) = 3 gilt, f bildet ja schließtlich f(3) = b ab. So
> wäre ja h keine Funktion mehr (habe ich versucht oben
> anzudeuten).
Angelas Formulierung
> > Ich definiere nun [mm]h:\{a,b\}\to\{1,2,3\}[/mm] mit
> > h(a):=1
> > h(b):=2
bedeutet (völlig unabhängig von unserer Aufgabenstellung) u.a.:
$h(b)$ ist als 2 definiert und nicht als 3.
Angela hat sich (willkürlich) entschieden, $h(b):=2$ zu wählen und nicht $h(b):=3$.
Danach hat sie eine andere Funktion [mm] $h'\colon B\to [/mm] A$ angegeben, für die $h'(b)$ als 3 definiert ist.
Beide Abbildungen $h$ und $h'$ sind Abbildungen der Art, wie wir eine finden müssen.
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Hi,
> Angela wählt zu jedem $ [mm] b\in [/mm] B $ GENAU EIN $ [mm] a_b\in U_b [/mm] $ aus.
> Nachdem sie diese (willkürlichen) Wahlen getroffen hat, kann sie problemlos
> eine Abbildung $ [mm] h\colon B\to [/mm] A $ durch
>
> $ [mm] h(b):=a_b [/mm] $ für alle $ [mm] b\in [/mm] B $
>
> definieren.
>
> Die Rechtseindeutigkeit dieser Abbildung bedeutet: Zu jedem $ [mm] b\in [/mm] B $ gibt > es höchstens ein $ [mm] a\in [/mm] A $ mit $ h(b)=a $.
>
> Ist dies der Fall?
> Ja! $ h $ ist so definiert, dass (für jedes $ [mm] b\in [/mm] B $) nur $ [mm] a=a_b [/mm] $ der
> Gleichung $ h(b)=a $ genügt.
Ich kann Dir folgen, aber mir fehlt da gedanklich etwas. Ich habe es einfach noch nicht begriffen. Ich sehe es ein, wenn man es so definiert, dass es ja dann auch so ist, aber muss es dafür nicht einen Grund geben, dass dies auch wirklich so ist? Muss ich das nicht aus den Gegebenheiten von f folgern (können)?
Es mag so sein, dass kein Grund dagegen spricht, dass man das so definieren KANN. Aber muss es nicht noch einen Fakt geben, der dies auch begründen kann, aus dem ich es folgern kann? Der "Groschen" fällt bei mir einfach nicht um.
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> Wie schließt Du denn allgemein nun aus, dass nicht noch
> h(b) = 3 gilt, f bildet ja schließtlich f(3) = b ab. So
> wäre ja h keine Funktion mehr (habe ich versucht oben
> anzudeuten).
Hallo,
ich glaube, Du hast noch falsche Vorstellungen von diesem h und damit verbunden auch von der zu zeigenden Aussage.
Du stellst es Dir vllt. so vor, als wäre dieses h ganz fest "verbandelt" mit der Funktion f.
Ist sie aber nicht!
Insbesondere ist h i.a. nicht "die" Umkehrfunktion von f. (Kann es ja nicht sein, denn f ist nicht als bijektiv vorausgesetzt.)
Es ist einfach so:
wir haben gegeben eine surjektive Abbildung [mm] f:A\to [/mm] B.
Jetzt können wir uns ja mal sämtliche Funktionen anschauen, die aus der Menge B in die Menge A abbilden.
In der Aussage, die Du zeigen möchtest, wird nun gesagt:
unter all diesen Funktionen finden wir mindestens eine Funktion h, für welche gilt f(h(b))=b für alle [mm] b\in [/mm] B.
Nehmen wir mein Beispiel von zuvor:
wir betrachten [mm] f:A:=\{1,2,3\}\to B:=\{a,b\}
[/mm]
mit
f(1):=a
f(2):=b
f(3):=b.
So.
Nun gibt es Funktionen, welche aus der Menge B in die Menge A abbilden.
In unserem Beispiel sind das 9 Funktionen:
[mm] h_{11}:\{a,b\}\to\{1,2,3\}
[/mm]
mit
[mm] h_{11}(a)=1
[/mm]
[mm] h_{11}(b)=1
[/mm]
[mm] h_{12}:\{a,b\}\to\{1,2,3\}
[/mm]
mit
[mm] h_{12}(a)=1
[/mm]
[mm] h_{12}(b)=2
[/mm]
[mm] h_{13}:\{a,b\}\to\{1,2,3\}
[/mm]
mit
[mm] h_{13}(a)=1
[/mm]
[mm] h_{13}(b)=3
[/mm]
[mm] h_{21}:\{a,b\}\to\{1,2,3\}
[/mm]
mit
[mm] h_{21}(a)=2
[/mm]
[mm] h_{21}(b)=1
[/mm]
[mm] h_{22}:\{a,b\}\to\{1,2,3\}
[/mm]
mit
[mm] h_{22}(a)=2
[/mm]
[mm] h_{22}(b)=2
[/mm]
[mm] h_{23}:\{a,b\}\to\{1,2,3\}
[/mm]
mit
[mm] h_{23}(a)=2
[/mm]
[mm] h_{23}(b)=3
[/mm]
[mm] h_{31}:\{a,b\}\to\{1,2,3\}
[/mm]
mit
[mm] h_{31}(a)=3
[/mm]
[mm] h_{31}(b)=1
[/mm]
[mm] h_{32}:\{a,b\}\to\{1,2,3\}
[/mm]
mit
[mm] h_{32}(a)=3
[/mm]
[mm] h_{32}(b)=2
[/mm]
[mm] h_{33}:\{a,b\}\to\{1,2,3\}
[/mm]
mit
[mm] h_{33}(a)=3
[/mm]
[mm] h_{33}(b)=3
[/mm]
Die von Dir zu beweisenden Aussage sagt:
unter diesen 9 Funktionen findest Du eine Funktion h, die das tut, was sie soll, für die nämlich f(h(a))=a und f(h(b))=b ist.
Du könntest nun die 9 Funktionen der Reihe nach testen, und irgendwann stößt Du auf eine, die genau die versprochenen Eigenschaften hat.
Dann kannst Du Dich freuen und aufhören.
Der weniger schreibintensive Weg ist der, daß man sich, ohne sämtliche Funktionen aufzulisten, überlegt, wie man solch eine Funktion h: [mm] B\to [/mm] A konstruieren kann.
Das habe ich zuvor getan,
und das ist auch die Idee des Beweises - die Aussage soll ja auch für Mengen A,B, die nicht abzählbar sind, gezeigt werden.
LG Angela
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Hallo,
ich habe in der tat Probleme dabei, das h losgelöst von f zu betrachten. Das Beispiel verdeutlicht und vereinfacht die Suche nach einem passenden h mit den gewünschten Eigenschaften. Man sieht ja, es gibt Funktionen, die diese Eigenschaft erfüllen, aber auch welche die diese nicht erfüllen. Wenn man jetzt noch ein Stück allgemeiner drangeht, könnte man h erstmal als Relation betrachten (und die entsprechenden Eigenschaften, die diese braucht um eine Funktion zu sein, suchen und finden), was den Raum der Möglichkeiten nochmal vergrößern würde.
Deine Hilfestellung war dafür jetzt erstmal sehr aufschlussreich.
Aber (leider jetzt ein aber) bereitet es mir Probleme, aus der Hülle an Möglichkeiten das gewünschte zu erkennen, wenn man es allgemein Beschreibt. Natürlich kann ich sagen, es ist ein rechtseindeutiges und linkstotales h dabei, was noch zusätzlich diese Eigenschaft erfüllt. Aber bei der Allgemeinen Betrachtungsweise tu ich mich da sehr schwer. Verstehst Du das was ich meine? Kann man das "irgendwie" lösen? Sich klar machen? Ich sehe das jetzt hier an der Stelle für die Aufgabenstellung ein, aber das verfolgt mich bei anderen Aufgaben natürlich auch immer wieder... So richtig springt der Funkte bei mir nicht über :-(
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> Hallo,
>
> ich habe in der tat Probleme dabei, das h losgelöst von f
> zu betrachten.
Hallo,
naja,
die gesuchte Funktion h hat ja auch durchaus etwas mit f zu tun...
Es ist halt nur so, daß der Zusammenhang nicht so eng ist, daß es zwangsläufig nur eine einzige Funktion h gibt, die die geforderte Eigenschaft hat.
> Aber (leider jetzt ein aber) bereitet es mir Probleme, aus
> der Hülle an Möglichkeiten das gewünschte zu erkennen,
> wenn man es allgemein Beschreibt.
Glaubst Du, daß ich einen sprechenden Raben daheim habe?
Wahrscheinlich nicht.
Aber wenn ich ihn Dir zeige und Du Dich davon überzeugen kannst, daß er wirklich spricht, dann glaubst Du mir.
Und genauso beweist man oft Existenzaussagen wie die, die Dir vorliegt:
indem man das Objekt, dessen Existenz behauptet wird, den Zweiflern vorlegt.
Ist die Existenz von irgendwas zu zeigen,
dann bastelt man sich zielstrebig ein "Irgendwas" und zeigt anschließend, daß es die gewünschten Eigenschaften hat.
Das überzeugt!
So auch hier.
Du schaust auf Dein Bildchen mit den Pfeilen für die Funktion f: [mm] A\to [/mm] B und überlegst Dir dann,
wie Du es bewerkstelligen kannst, eine Funktion zu bauen, die von B nach A abbildet und die gewünschte Eigenschaft hat.
Du stellst fest: störend und beunruhigend ist es, wenn auf ein [mm] b\in [/mm] B mehrere f-Pfeile zeigen.
Man kann die nicht einfach umdrehen, weil das "Ding" was man so bekommt, keine Funktion ist.
Die Lösung:
man definiert sich eine Funktion h, indem man halt genau einen der Pfeile für jedes b verwendet.
Und für diese Funktion kann man dann zeigen, daß sie tut, was sie tun soll.
Ohne eine Idee davon, wie das h gemacht sein muß, kannst Du seine Existenz nicht zeigen!
LG Angela
> Natürlich kann ich
> sagen, es ist ein rechtseindeutiges und linkstotales h
> dabei, was noch zusätzlich diese Eigenschaft erfüllt.
> Aber bei der Allgemeinen Betrachtungsweise tu ich mich da
> sehr schwer. Verstehst Du das was ich meine? Kann man das
> "irgendwie" lösen? Sich klar machen? Ich sehe das jetzt
> hier an der Stelle für die Aufgabenstellung ein, aber das
> verfolgt mich bei anderen Aufgaben natürlich auch immer
> wieder... So richtig springt der Funkte bei mir nicht über
> :-(
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