Verständnis Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Di 25.10.2011 | | Autor: | Sin777 |
keine konkrete Aufgabe sondern das Verständnis einer Definition ist mein Problem. Wir haben im Skript Folgendes stehen:
"Es sei [mm] (G,\circ) [/mm] eine Gruppe, M [mm] \subset [/mm] G. Dann bedeutet <M> die kleinste Untergruppe von G, die M enthält.
U=<M> heißt die von M erzeugte Untergruppe von G, M heißt ein Erzeugendensystem von U."
Was bedeutet "die kleinste Untergruppe von G, die M enthält"?
Zu allerersteinmal wann ist eine Gruppe kleiner als eine Andere? Bzw. was wird hier genau verglichen?
Wie kann eine Gruppe eine Menge enthalten? Eine Gruppe ist doch ein Paar aus Menge UND Verknüpfung.
"Dann zu U=<M> heißt die von M erzeugte Untergruppe" : Ist das nur eine komische Notation bzw. meint man Folgendes: U = <M> = [mm] (M,\circ)? [/mm] Wie kann eine Menge eine Gruppe erzeugen? Meint man hier, dass aus den Elementen von M mit der Verknüpfung von G gearbeitet wird?
Sorry, für die vielen Fragen, aber ich würde mich total freuen, wenn mir jemand diese Verständnisfragen beantworten kann.
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Di 25.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> keine konkrete Aufgabe sondern das Verständnis einer
> Definition ist mein Problem. Wir haben im Skript Folgendes
> stehen:
>
> "Es sei [mm](G,\circ)[/mm] eine Gruppe, M [mm]\subset[/mm] G. Dann bedeutet
> <M> die kleinste Untergruppe von G, die M enthält.
> U=<M> heißt die von M erzeugte Untergruppe von G, M
> heißt ein Erzeugendensystem von U."
>
> Was bedeutet "die kleinste Untergruppe von G, die M
> enthält"?
> Zu allerersteinmal wann ist eine Gruppe kleiner als eine
> Andere? Bzw. was wird hier genau verglichen?
Betrachte zwei Untergruppen [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] von G. Manchmal sagt man " [mm] U_1 [/mm] ist kleiner als [mm] U_2 [/mm] ", wenn [mm] U_1 \subseteq U_2 [/mm] ist.
Ist M wie oben, so betrachte alle Untergruppen von G , die M enthalten. Dann ist <M> der Durchschnitt all dieser Untergruppen und es gilt:
<M> [mm] \subseteq [/mm] U für jede Untergruppe U mit M [mm] \subseteq [/mm] U.
In diesem Sinne ist <M> die kleinste Untergruppe, die M enthält.
>
> Wie kann eine Gruppe eine Menge enthalten? Eine Gruppe ist
> doch ein Paar aus Menge UND Verknüpfung.
Da hast Du recht, also [mm] $(G,\circ)$. [/mm] Wenn man sagt " die Gruppe G enthält die Menge M" , so meint man einfach: M [mm] \subseteq [/mm] G.
>
> "Dann zu U=<M> heißt die von M erzeugte Untergruppe" : Ist
> das nur eine komische Notation bzw. meint man Folgendes: U
> = <M> = [mm](M,\circ)?[/mm]
Nein, man meint $(<M>, [mm] \circ)$
[/mm]
Wie kann eine Menge eine Gruppe
> erzeugen? Meint man hier, dass aus den Elementen von M mit
> der Verknüpfung von G gearbeitet wird?
Ja, genau,
FRED
>
>
> Sorry, für die vielen Fragen, aber ich würde mich total
> freuen, wenn mir jemand diese Verständnisfragen
> beantworten kann.
>
>
> Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Di 25.10.2011 | | Autor: | Sin777 |
Super, das hat mir wirklich sehr geholfen. Ich verstehe nicht, warum man nicht alle Formulierungen/Begriffe klar definieren kann :(
Nochmals danke :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Di 25.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Super, das hat mir wirklich sehr geholfen. Ich verstehe
> nicht, warum man nicht alle Formulierungen/Begriffe klar
> definieren kann :(
Das kann man schon. Nur manche tun es nicht
FRED
>
> Nochmals danke :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Di 25.10.2011 | | Autor: | Sin777 |
Hallo, ich habe nochmal eine Frage. Wir haben im Skript stehen, dass [mm] (\IZ, \circ) [/mm] von {1} erzeugt wird und das <1> = [mm] \IZ [/mm] ist. Wenn ich aber auf die Menge {1} die Verknüpfung + anwende, dann kann ich doch gar nicht das Element bspw. -1 erzeugen. Wie ist das zu verstehen, dass {1} ein Erzeugendensystem von [mm] (\IZ, \circ) [/mm] ist.
mfg
|
|
|
| |
|
> Hallo, ich habe nochmal eine Frage. Wir haben im Skript
> stehen, dass [mm](\IZ, \circ)[/mm] von {1} erzeugt wird und das <1>
> = [mm]\IZ[/mm] ist. Wenn ich aber auf die Menge {1} die Verknüpfung
> + anwende, dann kann ich doch gar nicht das Element bspw.
> -1 erzeugen. Wie ist das zu verstehen, dass {1} ein
> Erzeugendensystem von [mm](\IZ, \circ)[/mm] ist.
>
moin,
Ich nehme an hier ist nicht + sondern * als Verknüpfung gemeint.
Dann wäre $<1> = [mm] \{1*z | z \in \IZ \}$ [/mm] und somit ganz [mm] $\IZ$. [/mm]
Als anderes Beispiel wäre etwa $<2> = [mm] \{ 2*z | z \in \IZ \}$ [/mm] die Menge aller geraden Zahlen.
Dass die 1 [mm] $\IZ$ [/mm] erzeugt kann man in etwa so lesen, dass sich jede ganze Zahl als Vielfaches der 1 schreiben lässt. (Diese Bedingung erfüllen in [mm] $\IZ$ [/mm] einzig die 1 und die -1)
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Di 25.10.2011 | | Autor: | Sin777 |
Aber es heißt doch ganz klar [mm] (\IZ,+) [/mm] und nicht [mm] (\IZ,*) [/mm] ich kann doch nicht die Verknüpfung wählen, wie es mir gerade passt ...
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Aber es heißt doch ganz klar [mm](\IZ,+)[/mm] und nicht [mm](\IZ,*)[/mm] ich
> kann doch nicht die Verknüpfung wählen, wie es mir gerade
> passt ...
Schon recht. Das kannst Du natürlich nicht.
[mm]<1>[/mm] ist ein Erzeugendensystem von [mm] (\IZ,+), [/mm] weil ja nicht nur die Addition, sondern als ihre Umkehrung auch die Subtraktion erlaubt ist. Wäre sie das nicht, so gäbe kein einelementiges Erzeugendensystem.
Leichter einzusehen ist natürlich, dass <-3;4> ein Erzeugendensystem ist.
Grüße
reverend
|
|
|
|
