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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Fr 29.01.2010 | | Autor: | hoffmans |
| Aufgabe | Für die Folge [mm] (x_{n})_{n} \in \IN [/mm] gebe es ein q [mm] \in \IR [/mm] mit 0 < q < 1 und ein [mm] n_{0}(q), [/mm] so dass für
n > [mm] n_{0}(q) [/mm] gilt:
[mm] |x_{n+1}| [/mm] < [mm] q|x_{n}|.
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] (x_{n})_{n} \in \IN [/mm] ist eine Nullfolge . |
Ich Habe eine Lösung welche ich jedoch nicht im ganzen verstehe.
Das was ich verstehe schreibe ich neben dran in Klammern-[] und bitte um korrektur, da ich diese Art zu beweisen recht schwer finde.
Behauptung: [mm] (x_{n})_{n} \in \IN [/mm] ist eine Nullfolge
Beweis:
[mm] \forall\varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists N_{\varepsilon } \in \IN [/mm] : [mm] \forall n>N_{\varepsilon }: |x_{n}|< \varepsilon [/mm]
-[Für alle Epsilon >0 gibt es [mm] N_{\varepsilon} [/mm] so dass für alle n die größer sind als [mm] N_{\varepsilon} [/mm] gilt, das die Folge [mm] x_{n} [/mm] gegen Null Konvergiert]
[mm] \exists q\in(0,1): \exists [/mm] n'(q) [mm] \forall [/mm] n' >n'(q): [mm] |x_{n' +1}|
-[Es gibt ein q zwischen 0 und 1, und es gibt ein n' größer als n'(q) so dass [mm] |x_{n' +1}|
setze [mm] |x_{n' +1}|
-[das verstehe ich nicht, wieso nehme ich als [mm] |x_{n' +1}|
?????????????????]
So gilt: [mm] n'>N_{\varepsilon}: |x_{n'+1}|
Nochmal die Lösung meines Übungsleiters (unzerstückelt  )
[mm] \forall\varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists N_{\varepsilon } \in \IN [/mm] : [mm] \forall n>N_{\varepsilon }: |x_{n}|< \varepsilon [/mm]
[mm] \exists q\in(0,1): \exists [/mm] n'(q) [mm] \forall [/mm] n' >n'(q): [mm] |x_{n' +1}|
setze [mm] N_{\varepsilon}:= [/mm] (ceil(n'(q)-2) , q:= [mm] min({\varepsilon /|x_{N_{\varepsilon}}|,1/2})
[/mm]
So gilt: [mm] n'>N_{\varepsilon}: |x_{n'+1}|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Fr 29.01.2010 | | Autor: | hoffmans |
(Sorry Fehler mit dem kopieren) Meine Frage war warum Nehme ich für das [mm] N_{\varepsilon}=(ceil(n'(q)-2) [/mm] un als q:= wie es dort steht?
Die untere Lösung ist die korrekt abgetippt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Sa 30.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
so ganz verstanden habe ich den Beweis Deines Übungsleiters nicht. Denn das man q so wählen kann wie angegeben, glaube ich nicht, da ja nur vorausgesetzt wird, das es ein q zwischen 0 und 1 gibt mit der Eigenschaften [mm] |x_{n+1}
Es muss aber nicht das angegebene q sein.
Ich würde so vergehen.
Wenn [mm] N_{\varepsilon } [/mm] z.B. [mm] n_0(q)+k [/mm] ist mit k>0, dann kann man die angegebene Voraussetzung k-fach anwenden und man kommt zu dem Ausdruck
[mm] |x_{n+1}|
Jetzt wählt man k gross genug s.d. [mm] |x_{n+1}|<\epsilon [/mm] gilt. Das geht, weil 0<q<1 gilt.
Das Ganze ist allerdings nur eine Beweisskizze und kein Beweis.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Sa 30.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
> so ganz verstanden habe ich den Beweis Deines
> Übungsleiters nicht. Denn das man q so wählen kann wie
> angegeben, glaube ich nicht, da ja nur vorausgesetzt wird,
> das es ein q zwischen 0 und 1 gibt mit der Eigenschaften
> [mm]|x_{n+1}
>
> Es muss aber nicht das angegebene q sein.
Das sehe ich genauso. Der "Beweis" des Übungsleiters scheint schlichtweg grundlegend falsch zu sein.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Sa 30.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Sebastian,
> Beweis:
> [mm]\forall\varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists N_{\varepsilon } \in \IN[/mm] :
> [mm]\forall n>N_{\varepsilon }: |x_{n}|< \varepsilon[/mm]
>
> -[Für alle Epsilon >0 gibt es [mm]N_{\varepsilon}[/mm] so dass für
> alle n die größer sind als [mm]N_{\varepsilon}[/mm] gilt, das die
> Folge [mm]x_{n}[/mm] gegen Null Konvergiert]
Das ist offenbar keine Feststellung, sondern das, was zu zeigen ist (unverständlich für mich, warum dein Übungsleiter nicht z.z. davor geschrieben hat). Du kannst es auf zwei Arten in Worten formulieren:
1. Die Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert gegen 0.
2. Für alle Epsilon >0 gibt es [mm]N_{\varepsilon}[/mm] so dass für
alle n die größer sind als [mm]N_{\varepsilon}[/mm] gilt, dass [mm] $|x_n|<\varepsilon$.
[/mm]
Die Aussage, dass die Folge für gewisse n konvergiere, wie du es formuliert hast, macht dagegen keinen Sinn.
> [mm]\exists q\in(0,1): \exists[/mm] n'(q) [mm]\forall[/mm] n' >n'(q): [mm]|x_{n' +1}|
>
> -[Es gibt ein q zwischen 0 und 1, und es gibt ein n'
> größer als n'(q) so dass [mm]|x_{n' +1}|
Nein. Es gibt ein q zwischen 0 und 1 und es gibt ein [mm] $n'(q)\in\IN$, [/mm] so dass für alle $n'>n'(q)$ gilt [mm]|x_{n' +1}|
Mein Lösungsvorschlag:
1. Sei [mm] $m:=n_0(q)+1$. [/mm] Wir zeigen per Induktion nach k, dass für beliebige [mm] $k\in\IN$ [/mm] gilt [mm] $|x_{m+k}|\le q^k|x_m|$.
[/mm]
Induktionsanfang k=0: [mm] $|x_{m+0}|=q^0|x_m|$.
[/mm]
Induktionsschritt k->k+1: [mm] $|x_{\underbrace{m+k}_{>n_0(q)}+1}|
2. Sei nun ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vorgegeben. Falls [mm] $|x_m|\not=0$ [/mm] gilt, wählen wir [mm] $l\in\IN$ [/mm] so groß, dass [mm] $q^l\le\bruch{\varepsilon}{|x_m|}$; [/mm] falls [mm] $|x_m|=0$ [/mm] sei $l:=0$. Sei [mm] $N_\varepsilon:=m+l$.
[/mm]
Nun gilt für alle [mm] $n>N_\varepsilon$:
[/mm]
[mm] |x_n-0|=|x_{N_\varepsilon+(n-N_\varepsilon)}|=|x_{m+\underbrace{l+(n-N_\varepsilon)}_{\in\IN}}|\overbrace{\le}^{1.}q^{l+\overbrace{n-N_\varepsilon}^{>0}}|x_m|
Also ist tatsächlich [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge.
Ich würde mich über Rückmeldungen/Nachfragen freuen!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Mi 03.02.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ja, nachdem der Autor sich nicht mehr meldet, ich finde die Lösung i.O.
ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Mi 03.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ullim,
eigentlich dachte ich in der Tat an Rückmeldungen des Fragestellers. Trotzdem vielen Dank!
Viele Grüße
Tobias
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