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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:50 Di 23.09.2008 | | Autor: | phil974 |
Guten Tag der gesamte Matheraum,
ich haette einige kurzfragen, zu denen ich zum einen wissen möchte ob meine antworten stimmen, und zum anderen braeuchte ich eine "erklaerung" dazu, es handelt sich naemlich evtl um stoff für eine mündliche nachprüfung. und tschuldigt, dass ich das mit dem aufgabenfenster verpeilt habe
also fangen wir mal an:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
| Aufgabe 1 | Gegeben ist eine Matrix A [mm] \in\IR^{n x m} [/mm] und B [mm] \in\IR^{m x p} [/mm]
(falsch) AB [mm] \in \IR^{p x n} [/mm]
richtig wäre AB [mm] \in \IR^{n x p} [/mm] , aufgrund der matrizen rechenregeln. A*B ungleich B*A und es gilt Zeile mal Spalte bei der matrizenmultiplikation
(richtig) [mm] B^T A^T [/mm] ist definiert
(falsch) [mm] A^T B^T [/mm] ist definiert
argumentation dazu ? |
| Aufgabe 2 | gegeben sei die matrix A [mm] \pmat{ -\bruch {3}{5}x & \bruch{4}{5}y \\ \bruch {4}{5}x & \bruch{3}{5}y}
[/mm]
(richtig) Die abbildungsmatrix von a ist gegeben durch B [mm] \pmat{ -\bruch {3}{5} & \bruch{4}{5} \\ \bruch {4}{5} & \bruch{3}{5}}
[/mm]
(richtig) A ist invertierbar naweis: [mm] A^{-1} [/mm] = A ; detA [mm] \not= [/mm] 0 ; Eigenwerte [mm] \not= [/mm] 0
(richtig) B ist spiegelung von A weil ? |
| Aufgabe 3 | g:x sin(x) im Definitionsbereich [- [mm] \pi [/mm] /2 ; [mm] \pi [/mm] / 2 ] gegeben
(richtig) G:x ist monoton wachsend [i] ist zwar ne sinus funktion, aber im genannten def-bereich steigt sie halt monoton. sonst sin = periodische funktion
(falsch) g:x ist gerade sinus ist keine gerade
(richtig) g:x ist im definitionsbereich bijektiv bijektiv, surjektiv..da koennt ihr mich dran erhängen.. |
| Aufgabe 4 | gegeben sei [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{x} + 4x^{2}, & \mbox{für } x\not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x= 0 \mbox{} \end{cases} [/mm]
ich hab irgend einen fehler bei der eingabe gemacht, koennte das vielleicht jemand richten
(falsch) f(x) ist stetig in 0 ist es nicht, da definitionslücke an der stelle x=0
(richtig) f(x) hat tiefpunkt bei x= 0,5 Ableitungen bilden, falls erste ableitung grösser Null, ist es ein tiefpunkt
(richtig) Die sekante an der stelle x1=1 und x2 = 2 hat die steigung 23/2 hmm...nachweis mittels steigungsdreieck ? allgemeine steigungsformel ? |
hoffe mir kann da jemand die ein oder andere hilfreiche antwort geben.....danke schonmal im vorraus
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Hi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Guten Tag der gesamte Matheraum,
>
> ich haette einige kurzfragen, zu denen ich zum einen wissen
> möchte ob meine antworten stimmen, und zum anderen
> braeuchte ich eine "erklaerung" dazu, es handelt sich
> naemlich evtl um stoff für eine mündliche nachprüfung. und
> tschuldigt, dass ich das mit dem aufgabenfenster verpeilt
> habe
>
> also fangen wir mal an:
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gegeben ist eine Matrix A [mm]\in\IR^{n x m}[/mm] und B [mm]\in\IR^{m x p}[/mm]
>
> (falsch) AB [mm]\in \IR^{p x n}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> richtig wäre AB [mm]\in \IR^{n x p}[/mm] , aufgrund der matrizen
> rechenregeln. A*B ungleich B*A und es gilt Zeile mal
> Spalte bei der matrizenmultiplikation
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> (richtig) [mm]B^T A^T[/mm] ist definiert
> (falsch) [mm]A^T B^T[/mm] ist definiert
>
> argumentation dazu ?
>
A ist eine [mm] \\n\times\\m [/mm] Matrix demnach ist [mm] A^{T} [/mm] eine [mm] \\m\times\\n [/mm] Matrix. B ist eine eine [mm] \\m\times\\p [/mm] Matrix und [mm] B^{T} [/mm] ist eine [mm] \\p\times\\m [/mm] Matrix.
Nun soll überprüft werden ob [mm] \\B^{T}\cdot\\A^{T} [/mm] definert ist. Antwort ja denn [mm] \\p\times\\m \cdot \\m\times\\n [/mm] ist definert.
Nun kannst du dir überlegen warum [mm] \\A^{T}\cdot\\B^{T} [/mm] nicht definiert ist.
>
> (richtig) G:x ist monoton wachsend ist zwar ne sinus
> funktion, aber im genannten def-bereich steigt sie halt
> monoton. sonst sin = periodische funktion
>
ist dein [mm] \\G [/mm] ein Tippfehler? Wahrscheinlich schon 
naja im angegeben Intervall ist [mm] \\g [/mm] wachsend
das kannst du auch zeigen.
[mm] x_{n+1}>x_{n}
[/mm]
> (falsch) g:x ist gerade sinus ist keine gerade
sondern? [mm] (\rightarrow [/mm] Taylor)
>
> (richtig) g:x ist im definitionsbereich bijektiv bijektiv,
> surjektiv..da koennt ihr mich dran erhängen..
naja ist die Funktion im genannten Def.bereich surjektiv? Antwort ja. g geht von [mm] [-\bruch{\pi}{2} [/mm] , [mm] \bruch{\pi}{2}]\to[-1 [/mm] , 1] Eine Fkt ist ja surjektiv wenn jeder Punkt in der Zielmenge mindestens einmal getroffen wird.
Eine Fkt ist injektiv wenn jeder Punkt in der Zielmenge höchstens einmal getroffen wird. Schau dir nun den Definitionsberech und Wertebereich an und versuch die Frage zu beantworten.
Wenn du sie mit ja beantwortest dann ist g auch bijektiv wenn du sie mit nein beantwortest dann ist g nicht bijektiv
>
> gegeben sei [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{x} + 4x^{2}, & \mbox{für } x\not= 0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x= 0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
> ich hab irgend einen fehler bei der eingabe gemacht,
> koennte das vielleicht jemand richten
>
>
>
> (falsch) f(x) ist stetig in 0 ist es nicht, da
> definitionslücke an der stelle x=0
>
schreib mal die definitions auf die ihr in der vorlesung zur stetigkeit hattet.
> (richtig) f(x) hat tiefpunkt bei x= 0,5 Ableitungen bilden,
> falls erste ableitung grösser Null, ist es ein tiefpunkt
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") erste Ableitung 0 setzen und schauen ob Extremum überhaupt existiert. 2. Ableitung muss nun >0 sein damit dort ein Tiefpunkt ist.
>
> (richtig) Die sekante an der stelle x1=1 und x2 = 2 hat die
> steigung 23/2 hmm...nachweis mittels steigungsdreieck ?
> allgemeine steigungsformel ?
du hast dies als richtig gesetzt. wie hast du das den gerechnet? Eine Senkante hat ja 2 Schnittpunkte mit der Kurve. Die kann man bestimmen. Und eine Steigung mit 2 Punkten kann man ja ganz einfach die Steigung berechnen [mm] \\m=\bruch{\Delta\\y}{\Delta\\x}
[/mm]
>
>
>
> hoffe mir kann da jemand die ein oder andere hilfreiche
> antwort geben.....danke schonmal im vorraus
>
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:21 Mi 24.09.2008 | | Autor: | phil974 |
> A ist eine [mm]\\n\times\\m[/mm] Matrix demnach ist [mm]A^{T}[/mm] eine
> [mm]\\m\times\\n[/mm] Matrix. B ist eine eine [mm]\\m\times\\p[/mm] Matrix
> und [mm]B^{T}[/mm] ist eine [mm]\\p\times\\m[/mm] Matrix.
>
> Nun soll überprüft werden ob [mm]\\B^{T}\cdot\\A^{T}[/mm] definert
> ist. Antwort ja denn [mm]\\p\times\\m \cdot \\m\times\\n[/mm] ist
> definert.
>
> Nun kannst du dir überlegen warum [mm]\\A^{T}\cdot\\B^{T}[/mm] nicht
> definiert ist.
alles klar, da hatte ich eine kleinen denkfehler....durch das transponieren (oder war es transskriptioniert ??) wird die zeilen x spalten erscheinung gedreht, folglich muss auch die "rechenregel gedreht" werden....falls klar ist, was ich damit meine.
> >
> > (richtig) G:x ist monoton wachsend ist zwar ne sinus
> > funktion, aber im genannten def-bereich steigt sie halt
> > monoton. sonst sin = periodische funktion
> >
>
> ist dein [mm]\\G[/mm] ein Tippfehler? Wahrscheinlich schon
natürlich war g(x) gemeint !!
> naja im angegeben Intervall ist [mm]\\g[/mm] wachsend
>
> das kannst du auch zeigen.
>
> [mm]x_{n+1}>x_{n}[/mm]
>
>
> > (falsch) g:x ist gerade sinus ist keine gerade
>
> sondern? [mm](\rightarrow[/mm] Taylor)
alternierende reihe ?!
>
> >
> > (richtig) g:x ist im definitionsbereich bijektiv
> bijektiv,
> > surjektiv..da koennt ihr mich dran erhängen..
>
> naja ist die Funktion im genannten Def.bereich surjektiv?
> Antwort ja. g geht von [mm][-\bruch{\pi}{2}[/mm] ,
> [mm]\bruch{\pi}{2}]\to[-1[/mm] , 1] Eine Fkt ist ja surjektiv wenn
> jeder Punkt in der Zielmenge mindestens einmal getroffen
> wird.
> Eine Fkt ist injektiv wenn jeder Punkt in der Zielmenge
> höchstens einmal getroffen wird. Schau dir nun den
> Definitionsberech und Wertebereich an und versuch die Frage
> zu beantworten.
> Wenn du sie mit ja beantwortest dann ist g auch bijektiv
> wenn du sie mit nein beantwortest dann ist g nicht bijektiv
>
wenn ich mir das aussehen der funktion im definitionsberech ins gedaechtnis rufe, dann wird jeder wert maximal ein mal getroffen. aber es gibt ja auch mindestens einen treffer. also trifft surjektiv und injektiv zu, deshalb ist sie bijektiv.
haette ich zum beispiel eine in den positiven x-bereich offene parabel, gaebe es fuer jeden x wert mindestens 1 treffer, aber nicht hoechstens einen treffer, da es ja 2 y werte zu jedem x wert gäbe (ausser am scheitelpunkt, nehmen wir an das waere (0/0). folglich waere eine parabel surjektiv, aber nicht injektiv. daraus folgt, dass sie auch nicht bijektiv sein kann. richtig ?
>
> > falls erste ableitung grösser Null, ist es ein tiefpunkt
>
> erste Ableitung 0 setzen und schauen ob Extremum
> überhaupt existiert. 2. Ableitung muss nun >0 sein damit
> dort ein Tiefpunkt ist.
>
natürlich....blöder fehler. natuerlich f '(x) = 0 und dann die bedingung f ''(x)>0
> >
> > (richtig) Die sekante an der stelle x1=1 und x2 = 2 hat
> die
> > steigung 23/2 hmm...nachweis mittels steigungsdreieck ?
> > allgemeine steigungsformel ?
>
> du hast dies als richtig gesetzt. wie hast du das den
> gerechnet? Eine Senkante hat ja 2 Schnittpunkte mit der
> Kurve. Die kann man bestimmen. Und eine Steigung mit 2
> Punkten kann man ja ganz einfach die Steigung berechnen
> [mm]\\m=\bruch{\Delta\\y}{\Delta\\x}[/mm]
punkte in die funktion einsetzen = 2 Punkte: P1 (x1 / y1), sowie P2 (x2 / y2)
dann [mm] \bruch{y2 -y1}{x2 -x1} [/mm] = m bedingung m= 23/2
muss mich erst an die forenart gewöhnen, bis ich die editieren funktion gefunden hab...holla die waldfee. und dann war ich auch noch blockiert, weil gerade die frage als "wird bearbeitet" markiert war....aber das wird schon *g*
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Mi 24.09.2008 | | Autor: | Adamantin |
Da du auf die Stetigkeit nicht noch einmal explizit eingegangen bist, weiß ich nicht, ob es schon geklärt war, wurdest ja drauf hingewießen, aber ich sags nochmal.
Die Funktion ist stetig, außer für [mm] x_0=0 [/mm] denn sie ist sehr wohl dafür definiert und zwar mit 0. Die Frage ist nun, ob der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen und
$ [mm] \limes_{x \rightarrow 0} (\bruch{1}{x}+4x^2)=-\infty [/mm] $ für x<0
$ [mm] \limes_{x \rightarrow 0} (\bruch{1}{x}+4x^2)=\infty [/mm] $ für x>0
Damit stimmen die Grenzwerte nicht überein und 0 liegt irgendwo dazwischen ^^
Liebe Grüße
Adamantin
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mi 24.09.2008 | | Autor: | phil974 |
das hatte ich beim erneuten durcharbeiten des skirpts schon gefunden. unterscheiden sich der rechts- und linksseitige grenzwert, liegt keine stetigkeit vor. aber danke für die bestätigung, dachte immer nebenbei "na ob das als begründung reicht?!"
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> das hatte ich beim erneuten durcharbeiten des skirpts schon
> gefunden. unterscheiden sich der rechts- und linksseitige
> grenzwert, liegt keine stetigkeit vor. aber danke für die
> bestätigung, dachte immer nebenbei "na ob das als
> begründung reicht?!"
Hallo,
das reicht aus folgendem Grund:
wenn der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert verschieden sind, hat die Funktion an dieser Stelle keinen Grenzwert.
Also gilt schon aus diesem Grund nicht "Grenzwert=Funktionswert".
Gruß v. Angela
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> > > (falsch) g:x ist gerade sinus ist keine gerade
> >
> > sondern? [mm](\rightarrow[/mm] Taylor)
>
> alternierende reihe ?!
Hallo,
daß die Sinusfunktion keine Gerade ist, ist ja nicht so das große Geheimnis...
Ich vermute mal ganz stark, daß die Frage war: ist die Sinusfunktion gerade?
Wie ist denn eine gerade Funktion definiert und wie eine ungerade?
Gruß v. Angela
P.S.: Das erste Taylorpolynom der Sinusfunktion ist eine Gerade. Man kann sie also um die Null herum durch eine gerade nähern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Do 25.09.2008 | | Autor: | phil974 |
soweit ich mich erinnere, war eine Ungerade Funktion durch f(-x) = -f(x) und eine gerade f(-x) = f(x) definiert:
sin ( - [mm] \pi [/mm] ) = 0 und - sin ( [mm] \pi] [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] sinusfunktion ist ungerade
cos ( - [mm] \pi [/mm] ) = -1 und cos ( [mm] \pi [/mm] ) = -1 [mm] \Rightarrow [/mm] cosinusfunktion ist gerade
das dürfte als nachweis ausreichend sein, oder ?
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> soweit ich mich erinnere, war eine Ungerade Funktion durch
> f(-x) = -f(x) und eine gerade f(-x) = f(x) definiert:
Hallo,
ja, genau.
>
> sin ( - [mm]\pi[/mm] ) = 0 und - sin ( [mm]\pi][/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> sinusfunktion ist ungerade
>
>
> cos ( - [mm]\pi[/mm] ) = -1 und cos ( [mm]\pi[/mm] ) = -1 [mm]\Rightarrow[/mm]
> cosinusfunktion ist gerade
>
>
> das dürfte als nachweis ausreichend sein, oder ?
Nein, das ist überhaupt nicht ausreichend.
das muß doch nicht nur an der Stelle [mm] x=\pi [/mm] gelten, sondern überall.
Wieviel hier an Begründung verlangt wird, weiß ich nicht. Ich vermute aber mal, das in dem Zusammenhang ein Hinweis auf die Symmetrieeigenschaft des Sinus reicht.
Wenn's mehr sein soll, könntest Du j tatsächlich, wie zuvor schonmal vorgeschlagen, mit der Taylorreihe argumentieren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Do 25.09.2008 | | Autor: | phil974 |
da der definitionsbreich "nur" von - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] bis [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] geht denke ich, dass es reicht, wenn ich das am beispiel eines wertes erläutere, wie ungerade und gerade funktionen definiert sind und dann anhand einer skizze die symmetrieeigenschaften hinzuziehe...als krönenden abschluss dann noch die taylorreihe nennen. gott, so viel wissen, und so ein verweichlichtes gehirn, hoffe ich kann mir das alles einprägen bis montag...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Do 25.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> da der definitionsbreich "nur" von - [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] bis
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] geht denke ich, dass es reicht,
Wie Angela schon sagte: es reicht nicht !
Übrigends: [mm] \pi [/mm] und [mm] -\pi [/mm] liegen nicht in Deinem Definitionsbereich !!!!!!!
FRED
> wenn ich das
> am beispiel eines wertes erläutere, wie ungerade und gerade
> funktionen definiert sind und dann anhand einer skizze die
> symmetrieeigenschaften hinzuziehe...als krönenden abschluss
> dann noch die taylorreihe nennen. gott, so viel wissen, und
> so ein verweichlichtes gehirn, hoffe ich kann mir das alles
> einprägen bis montag...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Do 25.09.2008 | | Autor: | phil974 |
das mit dem Definitionsbereich ist mir natürlich klar.....setzte ich aber zum beispiel ALLE werte von - 0.5 [mm] \pi [/mm] bis 0 ein, bekomme ich exakt gleiche ergebnis ; sin (x) ist eine ungerade funktion. dann sage ich, dass ich das ganze aufgrund der symmetrie auch fuer den bereich 0 bis 0,5 [mm] \pi [/mm] benutzen kann...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Do 25.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du damit die Symmetrie beweisen willst, drehst Du Dich gewaltig im Kreis.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Sa 27.09.2008 | | Autor: | phil974 |
ich bräuchte in bezug auf die bijektivität noch eine bestätigung.
>
> >
> > (richtig) g:x ist im definitionsbereich bijektiv
> bijektiv,
> > surjektiv..da koennt ihr mich dran erhängen..
>
> naja ist die Funktion im genannten Def.bereich surjektiv?
> Antwort ja. g geht von ,
> , 1] Eine Fkt ist ja surjektiv wenn
> jeder Punkt in der Zielmenge mindestens einmal getroffen
> wird.
> Eine Fkt ist injektiv wenn jeder Punkt in der Zielmenge
> höchstens einmal getroffen wird. Schau dir nun den
> Definitionsberech und Wertebereich an und versuch die Frage
> zu beantworten.
> Wenn du sie mit ja beantwortest dann ist g auch bijektiv
> wenn du sie mit nein beantwortest dann ist g nicht bijektiv
>
wenn ich mir das aussehen der funktion im definitionsberech ins gedaechtnis rufe, dann wird jeder wert maximal ein mal getroffen. aber es gibt ja auch mindestens einen treffer. also trifft surjektiv und injektiv zu, deshalb ist sie bijektiv.
haette ich zum beispiel eine in den positiven x-bereich offene parabel, gaebe es fuer jeden x wert mindestens 1 treffer, aber nicht hoechstens einen treffer, da es ja 2 y werte zu jedem x wert gäbe (ausser am scheitelpunkt, nehmen wir an das waere (0/0). folglich waere eine parabel surjektiv, aber nicht injektiv. daraus folgt, dass sie auch nicht bijektiv sein kann. richtig ?
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> ich bräuchte in bezug auf die bijektivität noch eine
> bestätigung.
Hallo,
injektiv ist dieSinusfunktion im Intervall [mm] [-\bruch{pi}{2}, \bruch{pi}{2}]. [/mm] Könnte man mit der Monotonie begründen.
Über Bijektivität kann man nichts sagen. Ob eine Funktion bijektiv ist oder nicht, hängt ja immer mit dem Wertebereich zusammen, und über den ist nichts mitgeteilt - oder sollte ich es übersehen haben?
Wenn ich [mm] sin:[-\bruch{pi}{2}, \bruch{pi}{2}] \to \IR [/mm] betrachte, ist sie nicht bijektiv, wenn ich den Wertebereich einschränke auf [-1, 1], dann ist sie bijektiv.
Gruß v. Angela
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Hallo,
.
Für die noch ausstehende Aufgabe 2 solltest Du zuerst mal den Aufgabentext im kompletten(!) Original(!)wortlaut mitteilen.
Alles, was da stand.
Dann wird man Dir bestimmt helfen können. So ist das ein Ratespiel.
Gruß v. Angela
> gegeben sei die matrix A [mm]\pmat{ -\bruch {3}{5}x & \bruch{4}{5}y \\ \bruch {4}{5}x & \bruch{3}{5}y}[/mm]
>
> (richtig) Die abbildungsmatrix von a ist gegeben durch B
> [mm]\pmat{ -\bruch {3}{5} & \bruch{4}{5} \\ \bruch {4}{5} & \bruch{3}{5}}[/mm]
>
> (richtig) A ist invertierbar naweis: [mm]A^{-1}[/mm] = A ; detA
> [mm]\not=[/mm] 0 ; Eigenwerte [mm]\not=[/mm] 0
>
> (richtig) B ist spiegelung von A weil ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Mi 24.09.2008 | | Autor: | phil974 |
> Für die noch ausstehende Aufgabe 2 solltest Du zuerst mal
> den Aufgabentext im kompletten(!) Original(!)wortlaut
> mitteilen.
> Alles, was da stand.
> Dann wird man Dir bestimmt helfen können. So ist das ein
> Ratespiel.
hmm, das koennte ein problem werden. in der einsicht waren mitschriften nicht gestattet, folglich ist alles was ich zur klausur habe "aus dem kopf" aufgeschrieben...und da es im teil "kurzfragen" stand, gab es sowieso nicht viel aufgabenext
abbildungsmatrix, ganz plump gesagt, bildet sich doch einfach aus den werten der matrix vor den variablen x und y ?
und die möglichkeiten um invertierbarkeit nachzuweisen, sollten ja auch allgemein gültig sein:
nachweis:
[mm]A^{-1}[/mm] = A ;
detA [mm]\not=[/mm] 0 ;
Eigenwerte [mm]\not=[/mm] 0
oder liege ich mit den 3 ansätzen falsch ?
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> > Für die noch ausstehende Aufgabe 2 solltest Du zuerst mal
> > den Aufgabentext im kompletten(!) Original(!)wortlaut
> > mitteilen.
> hmm, das koennte ein problem werden. in der einsicht waren
> mitschriften nicht gestattet
Hallo,
na, das erklärt einiges...
dann will ich mal den Hellsehmodus einschalten.
Gegeben sei die Abbildung
[mm] a:\IR^2 \to \IR^2 [/mm]
[mm] \vektor{x\\y} \mapsto \pmat{ -\bruch {3}{5}x + \bruch{4}{5}y \\ \bruch {4}{5}x + \bruch{3}{5}y}
[/mm]
Was ist richtig?
A. Die Abbildungsmatrix von a ist gegeben durch B= [mm] \pmat{ -\bruch {3}{5} & \bruch{4}{5} \\ \bruch {4}{5} & \bruch{3}{5}} [/mm]
Das stimmt, denn es ist [mm] a(\vektor{x\\y})=B*\vektor{x\\y}
[/mm]
B1. Die Matrix B ist invertierbar.
Eine Begründung wäre, daß die Determinante [mm] \not=0 [/mm] ist.
[mm] B^{-1}=B [/mm] ist keine gute Begründung, finde ich. Du sollst ja erst sagen, ob es [mm] B^{-1} [/mm] gibt. Du könntest hierfür vorrechnen, daß B*B die Einheitsmatrix ist. daraus folgt dann, daß [mm] B^{-1}=B
[/mm]
(daß 0 kein Eigenwert ist, ist auch ein Grund.)
B2: Die Abbildung a ist invertierbar.
Kannst Du mit der Invertierbarkeit der darstellenden Matrix begründen.
C. Die Abbildung a beschreibt eine Spiegelung.
Das stimmt:
Die Eigenwerte der Matrix sind 1 und -1, da die Matrix symmetrisch ist, sind die Eigenvektoren orthogonal.
oder:
die Matrix ist orthogonal und ihre Determinante ist -1 (und nicht +1).
Gruß v. Angela
> gegeben sei die matrix A $ [mm] \pmat{ -\bruch {3}{5}x & \bruch{4}{5}y \\ \bruch {4}{5}x & \bruch{3}{5}y} [/mm] $
>
> (richtig) Die abbildungsmatrix von a ist gegeben durch B
> $ [mm] \pmat{ -\bruch {3}{5} & \bruch{4}{5} \\ \bruch {4}{5} & \bruch{3}{5}} [/mm] $
>
> (richtig) A ist invertierbar naweis: $ [mm] A^{-1} [/mm] $ = A ; detA
> $ [mm] \not= [/mm] $ 0 ; Eigenwerte $ [mm] \not= [/mm] $ 0
>
> (richtig) B ist spiegelung von A weil ?
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