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| Aufgabe | Es sei v Element von [mm] R^n. [/mm] Die Verschiebung Tv : [mm] R^n [/mm] -> [mm] R^n [/mm] sei definiert durch Tv(x) :=
x + v. F¨ur A Element von [mm] R^n [/mm] sei
TvA = { Tv(x) | x Element von A}.
Zeigen Sie f¨ur die Funktion l :
(a) F¨ur alle A Element von E und alle v Element von [mm] R^n [/mm] gilt TvA Teilmenge von E und l(TvA) = l(A).
(b) F¨ur alle A Element von [mm] R^n [/mm] und alle v Element von [mm] R^n [/mm] gilt l*(TvA) = l*(A).
(c) F¨ur alle A Element von M(l) und alle v Element von [mm] R^n [/mm] gilt TvA Element von M(l) und l(TvA) = l(A). |
l ist wie folgt definiert:
Die Elementarmengen im [mm] R^n [/mm] bilden einen Ring E =
[mm] E(R^n). [/mm] F¨ur einen Quader I1×· · ·×In mit (ai, bi) Teilmenge von Ii Teilmenge von [ai, bi] sei das Volumen
durch
l(I1 × · · · × In) = (b1 − a1) . . . (bn − an)
definiert, dann l¨asst sich l eindeutig zu einer additiven Funktion auf E fortsetzen.
Über eine Lösung oder zumindestens einen Ansatz wäre ich sehr dankbar!
Bei der a) verstehe ich den letzten Teil nicht.
l(TvA)=l(A) folgt doch aus den Definitionen, oder nicht?
Bei der b) doch auch!?! Ich habe hier doch nur das äußere Maß und da liegt doch das innere drin!?!
Bei der c) muss man dann doch wieder dasselbe zeigen, nur das A aus einer anderen Menge kommt. Ist das M(l) ein Ring?
Danke für eure Hilfe. Nett wäre bei einem Lösungsansatz, wenn ihr mir auch schreiben würdet, worauf ich achten muss.
Ich habe diesen Beitrag in kein anderes Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:24 Di 11.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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