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Hi,
meine Aufgabe ist:
"Bilde die Verneinung der folgenden Aussage für natürliche Zahlen x, y, z.
[mm] \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y [mm] \forall [/mm] z: (x+y > z [mm] \Rightarrow [/mm] z = 1)
Ist die Aussage wahr oder falsch?
Meine Idee:
Erstmal die Verneinung:
[mm] \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y [mm] \exists [/mm] z : [mm] \neg [/mm] (x+y > z [mm] \Rightarrow [/mm] z = 1)
Ich denke die ursprüngliche Aussage ist wahr, da für 1+1 > 1 ist und somit z=1 werden kann.
Aber auch die Verneinung ist meiner Ansicht nach richtig, denn es existiert nicht für alle y ein y und ein z so dass x+y>z wird.
Können denn beide Aussagen richtig sein?
Viele Grüße
Matheauszubildender
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Hallo Mathe-Azubi!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> "Bilde die Verneinung der folgenden Aussage für natürliche
> Zahlen x, y, z.
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y [mm]\forall[/mm] z: (x+y > z [mm]\Rightarrow[/mm] z =
> 1)
>
> Ist die Aussage wahr oder falsch?
>
>
> Meine Idee:
>
> Erstmal die Verneinung:
> [mm]\exists[/mm] x [mm]\forall[/mm] y [mm]\exists[/mm] z : [mm]\neg[/mm] (x+y > z
> [mm]\Rightarrow[/mm] z = 1)
Soweit richtig, allerdings kann man das noch etwas weiterschreiben. Dazu brauchst du die Umformung
[mm](A \Rightarrow B) \equiv (\neg A \vee B)[/mm]
Deshalb ist [mm]\neg(x+y > z \Rightarrow z=1)=\neg(\neg(x+y > z) \vee (z=1))=(x+y>z) \wedge (z \not= 1)[/mm]
> Ich denke die ursprüngliche Aussage ist wahr, da für 1+1 >
> 1 ist und somit z=1 werden kann.
mmh, ich denke nicht, dass sie wahr ist, denn du darfst dir nicht nur den Spezialfall x=1 rauspicken! Schauen wir uns das nochmal an:
[mm]\forall x \exists y \forall z: (x+y>z \Rightarrow z=1)[/mm] Uns wird also irgendein [mm]x\in \IN[/mm] gegeben, z.B. x=11. Und dazu suchen wir uns ein y, sodass für alle natürlichen Zahlen z gelten soll: falls x+y>z, ist z=1.
> Aber auch die Verneinung ist meiner Ansicht nach richtig,
> denn es existiert nicht für alle x ein y und ein z so dass
> x+y>z wird.
OK, jetzt wollen wir mal die Verneinung beweisen (nicht nur etwas denken  ):
Wähle [mm]x:=11[/mm] und sei [mm]y \in \IN[/mm]. Wähle nun [mm]z:=3[/mm] (oder eine andere Zahl aus [mm]\{2,...,11\}[/mm]), dann gilt:
[mm]x+y=11+y > 11 > 3 = z[/mm] und gleichzeitig [mm]z \not= 1[/mm].
Das heißt, die Verneinung der Aussage ist wahr, die Aussage ist also falsch.
> Können denn beide Aussagen richtig sein?
Das kann nie der Fall sein! Wenn A wahr ist, ist Nicht-A falsch!
Schau dir die Aufgabe nochmal gut an, sie ist sehr wichtig. Solche Aussagen richtig zu interpretieren ist an der Uni eine der Grundlagen.
mfg
Daniel
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Hallo Daniel!
Herzlichen Dank für deine ausführliche Antwort.
Du hast recht, ich muss mich da echt nochmal länger mit beschäftigen, damit ich die Grundlagen nicht verpasse. Dabei komme ich in den Vorlesungen gut mit, aber selber anwenden *puh*
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