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| Aufgabe | | Geben Sie die Verknüpfungstafeln von $+$ und $*$ eines Körpers mit 4 Elementen $a, b, c, d$ an und begründen Sie ihre Antwort ausführlich. |
Hallo,
$M := [mm] \{ a,b,c,d \}$
[/mm]
Behauptung:
[mm] \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
\hline
+ & a & b & c & d\\
\hline \hline
a & a & b & c & d \\ \hline
b & b & a & d & c\\ \hline
c & c & d & a & b\\ \hline
d & d & c & b & a\\
\hline
\end{tabular} [/mm]
und
[mm] \begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
\hline
* & a & b & c & d\\
\hline \hline
a & a & a & a & a \\ \hline
b & a & b & c & d\\ \hline
c & a & c & d & b\\ \hline
d & a & d & b & c\\
\hline
\end{tabular}
[/mm]
seien ein Körper.
Beweis:
Somit muss laut Def. [mm] $\left( M,+ \right)$ [/mm] eine abelsche Gruppe sein:
Assoziativität:
$$
(a+b)+c=d
a+(b+c)=d
(a+b)+d=c
a+(b+d)=c
(b+c)+d=a
b+(c+d)=a
(a+c)+d=b
a+(c+d)=b
$$
erfüllt!
(Wegen Kommutativität muss kein weiterer Fall betrachtet werden ->korrekt?)
Neutrales Element: $a$
erfüllt!
Eindeutiges Inverses:
$$
[mm] a^{-1}=a
[/mm]
[mm] b^{-1}=b
[/mm]
[mm] c^{-1}=c
[/mm]
[mm] d^{-1}=d
[/mm]
$$
erfüllt!
Kommutativität: Symetrisch zur Hauptdiagonalen
erfüllt!
Somit ist $(M,+)$ eine abelsche Gruppe!
Assoziativität der Multiplikation:
$$
(a*b)*c=a
a*(b*c)=a
(a*b)*d=a
a*(b*d)=a
(b*c)*d=b
b*(c*d)=b
(a*c)*d=a
a*(c*d)=a
$$
erfüllt!
Eins- bzw. Neutralelemt: b
erfüllt!
Distributivität:
$$
(a+b)*c=c
a*c+b*c=c
(b+c)*d=c
b*d+c*d=c
(a+c)*d=b
a*d+c*d=b
(a+d)*c=b
a*c+d*c=b
$$
erfüllt!
Somit ist $(M,+,*)$ schonmal ein kommutativer Ring.
$M' := [mm] \{M \setminus {a} \}$
[/mm]
$M'$ ist eine abelsche Gruppe.
Somit ist $(M,+,*)$ ein Körper!
Puh, hoffe ich habe mich nicht vertippt und die Führung ist schlüssig! :)
Würde mich über Kritik freuen,
Michael
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 So 06.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Michael!
> Geben Sie die Verknüpfungstafeln von [mm]+[/mm] und [mm]*[/mm] eines
> Körpers mit 4 Elementen [mm]a, b, c, d[/mm] an und begründen Sie
> ihre Antwort ausführlich.
>
> [mm]M := \{ a,b,c,d \}[/mm]
>
> Behauptung:
> [mm]\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
\hline
+ & a & b & c & d\\
\hline \hline
a & a & b & c & d \\ \hline
b & b & a & d & c\\ \hline
c & c & d & a & b\\ \hline
d & d & c & b & a\\
\hline
\end{tabular}[/mm]
> und
> [mm]\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
\hline
* & a & b & c & d\\
\hline \hline
a & a & a & a & a \\ \hline
b & a & b & c & d\\ \hline
c & a & c & d & b\\ \hline
d & a & d & b & c\\
\hline
\end{tabular}[/mm]
>
> seien ein Körper.
Sieht gut aus.
> Beweis:
> Somit muss laut Def. [mm]\left( M,+ \right)[/mm] eine abelsche
> Gruppe sein:
>
> Assoziativität:
> [mm][/mm]
> (a+b)+c=d
> a+(b+c)=d
> (a+b)+d=c
> a+(b+d)=c
> (b+c)+d=a
> b+(c+d)=a
> (a+c)+d=b
> a+(c+d)=b
> [mm][/mm]
> erfüllt!
> (Wegen Kommutativität muss kein weiterer Fall betrachtet
> werden ->korrekt?)
Was ist z.B. mit dem Fall $c + (c + d)$?
Und: in dem Fall solltest du vorher erwaehnen, dass alles kommutativ ist, und nicht erst weiter unten 
> Neutrales Element: [mm]a[/mm]
...bzgl Addition...
> erfüllt!
>
> Eindeutiges Inverses:
> [mm][/mm]
> [mm]a^{-1}=a[/mm]
> [mm]b^{-1}=b[/mm]
> [mm]c^{-1}=c[/mm]
> [mm]d^{-1}=d[/mm]
> [mm][/mm]
> erfüllt!
Vorsicht! Du redest hier von der Addition! Die Inversen solltest du da mit $-x$ bezeichnen und nicht mit [mm] $x^{-1}$!
[/mm]
> Kommutativität: Symetrisch zur Hauptdiagonalen
> erfüllt!
>
> Somit ist [mm](M,+)[/mm] eine abelsche Gruppe!
Ja.
> Assoziativität der Multiplikation:
>
> [mm][/mm]
> (a*b)*c=a
> a*(b*c)=a
> (a*b)*d=a
> a*(b*d)=a
> (b*c)*d=b
> b*(c*d)=b
> (a*c)*d=a
> a*(c*d)=a
> [mm][/mm]
> erfüllt!
Was ist z.B. mit $(c*d)*c$?
> Eins- bzw. Neutralelemt: b
> erfüllt!
>
> Distributivität:
>
> [mm][/mm]
> (a+b)*c=c
> a*c+b*c=c
> (b+c)*d=c
> b*d+c*d=c
> (a+c)*d=b
> a*d+c*d=b
> (a+d)*c=b
> a*c+d*c=b
> [mm][/mm]
> erfüllt!
Was ist z.B. mit $(a + b) * d$?
> Somit ist [mm](M,+,*)[/mm] schonmal ein kommutativer Ring.
>
> [mm]M' := \{M \setminus {a} \}[/mm]
>
> [mm]M'[/mm] ist eine abelsche Gruppe.
>
> Somit ist [mm](M,+,*)[/mm] ein Körper!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Puh, hoffe ich habe mich nicht vertippt und die Führung
> ist schlüssig! :)
Abgesehen von den paar fehlenden Faellen und der Reihenfolge und der Notation am Anfang ist alles in Ordnung.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 So 06.11.2011 | | Autor: | DjHighlife |
Besten Dank für die schnelle Antwort.
Fehler werden ausgebessert. :)
Schönen Sonntag noch,
Michael
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