Verknüpfungstafel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Mo 01.08.2011 | | Autor: | taiBsu |
| Aufgabe | Gegeben ist die Gruppe G = {s1, s2, s3, s4, s5, s6} mit der folgenden Verknüpfungstafel.
[mm] \begin{matrix}
\circ & s_1 & s_2 & s_3 & s_4 & s_5 & s_6 \\ \hline
s_1 & s_1 & s_2 & s_3 & s_4 & s_5 & s_6 \\
s_2 & s_2 & s_3 & s_1 & s_6 & s_4 & s_5 \\
s_3 & s_3 & s_1 & s_2 & s_5 & s_6 & s_4 \\
s_4 & s_4 & s_5 & s_6 & s_1 & s_2 & s_3 \\
s_5 & s_5 & s_6 & s_4 & s_3 & s_1 & s_2 \\
s_6 & s_6 & s_4 & s_5 & s_2 & s_3 & s_1 \\
\end{matrix}
[/mm]
(a) Welches ist das neutrale Element?
(b) Finden Sie alle Untergruppen von G und geben Sie deren Ordnung an.
(c) Ermitteln für eine nichttriviale Untergruppe alle Links-Nebenklassen. |
Kann mir da irgendjemand für jede der 3 Aufgabenstellungen einen Ansatz geben, ich habe nämlich leider überhaupt keine Ahnung, wie ich bei Nichtzahlen ein neutrales Element errechnen soll?!
LG taiBsu
|
|
| |
|
> Gegeben ist die Gruppe G = {s1, s2, s3, s4, s5, s6} mit der
> folgenden Verknüpfungstafel.
>
> [mm]\begin{matrix} \circ & s_1 & s_2 & s_3 & s_4 & s_5 & s_6 \\
\hline s_1 & s_1 & s_2 & s_3 & s_4 & s_5 & s_6 \\
s_2 & s_2 & s_3 & s_1 & s_6 & s_4 & s_5 \\
s_3 & s_3 & s_1 & s_2 & s_5 & s_6 & s_4 \\
s_4 & s_4 & s_5 & s_6 & s_1 & s_2 & s_3 \\
s_5 & s_5 & s_6 & s_4 & s_3 & s_1 & s_2 \\
s_6 & s_6 & s_4 & s_5 & s_2 & s_3 & s_1 \\
\end{matrix}[/mm]
>
>
> (a) Welches ist das neutrale Element?
> (b) Finden Sie alle Untergruppen von G und geben Sie deren
> Ordnung an.
> (c) Ermitteln für eine nichttriviale Untergruppe alle
> Links-Nebenklassen.
>
>
> Kann mir da irgendjemand für jede der 3 Aufgabenstellungen
> einen Ansatz geben, ich habe nämlich leider überhaupt
> keine Ahnung, wie ich bei Nichtzahlen ein neutrales Element
> errechnen soll?!
Hallo,
fangen wir mal mit der Aufgabe a) an, wenn die fertig ist, kann man sich ja weiter vorarbeiten.
Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir erstmal wissen, was ein neutrales Element ist. Wie ist das definiert?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mo 01.08.2011 | | Autor: | taiBsu |
Naja, vom Prinzip her ist das ja einfach nur ein Element e, was mit einem anderen Element x multipliziert wieder das Element x ergibt, also wäre das ja hier quasi [mm] s_1, [/mm] oder?
|
|
|
| |
|
Hall taiBsu,
>
> Naja, vom Prinzip her ist das ja einfach nur ein Element e,
> was mit einem anderen Element x multipliziert wieder das
> Element x ergibt, also wäre das ja hier quasi [mm]s_1,[/mm] oder?
>
Formal hast Du hier das linksneutrale Element beschrieben:
[mm]e \circ x=x[/mm]
Ist dieses Element e auch rechtsneutrales Element, d.h.
[mm]x \circ e=x[/mm],
so spricht man vom neutralen Element.
Demnach ist zu prüfen, ob [mm]s_ {1}[/mm] auch rechtsneutrales Element ist.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mo 01.08.2011 | | Autor: | taiBsu |
Ja das ist ja bewiesen, weil [mm] s_1 \circ s_3 [/mm] = [mm] s_3 [/mm] ist und [mm] s_3 \circ s_1 [/mm] ja auch [mm] s_3 [/mm] ist.
Aber wie finde ich jetzt Untergruppen und Nebenklassen? :(
|
|
|
| |
|
Hallo taiBsu,.
>
> Ja das ist ja bewiesen, weil [mm]s_1 \circ s_3[/mm] = [mm]s_3[/mm] ist und
> [mm]s_3 \circ s_1[/mm] ja auch [mm]s_3[/mm] ist.
> Aber wie finde ich jetzt Untergruppen und Nebenklassen? :(
>
Für eine Untergruppe müssen dieselben Eigenschaften
wie für eine Gruppe gelten.
Insbesondere muß die Untergruppe
das neutrale und die inversen Elemente beinhalten.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
