Verknüpfung invertierbar < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] h:\IR^2-S^2 [/mm] gegeben durch [mm] (x,y)\mapsto \bruch{1}{x^2+y^2+1}(2x,2y,x^2+y^2-1). [/mm] Dann heißt h die stereographische Projektion(über dem Nordpol N)
Sei weiter [mm] f:U-\IR^3 [/mm] eine Minimalfläche ohne planare Punkte und u [mm] \in [/mm] U mit n(u) [mm] \not=N.
[/mm]
Man zeige, dass [mm] h^{-1} [/mm] o [mm] n:U->\IR^2 [/mm] lokal um u invertierbat ist |
Hallo
Ich würde anfangen, [mm] h^{-1} [/mm] o n zu bestimmen.
n wird wohl die Gaußabbildung sein, also [mm] n=\bruch{f_{u1} x f_{u2}}{\parallel f_{u1} x f_{u2} \parallel} [/mm]
Jetzt [mm] h^{-1} [/mm] bestimmen. h(x,y) ist ein Vektor, also wäre das Inverse [mm] (-1)*\bruch{1}{x^2+y^2+1}(2x,2y,x^2+y^2-1).
[/mm]
Wie soll ich die beiden Funktionen verknüpfen?
Man soll ja zeigen, dass die Verknüpfung lokal um u invertierbar ist. Ich würde versuchen, dass mit Determinante [mm] \not= [/mm] 0 zeigen.
f ist eine Minimalfläche ohne planare Punkte, d. h. die mittlere Krümmung H ist 0, doch wie hilft mir diese Information weiter?
Ich bedanke mich für jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:49 Mi 07.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]h:\IR^2-S^2[/mm] gegeben durch [mm](x,y)\mapsto \bruch{1}{x^2+y^2+1}(2x,2y,x^2+y^2-1).[/mm]
> Dann heißt h die stereographische Projektion(über dem
> Nordpol N)
> Sei weiter [mm]f:U-\IR^3[/mm] eine Minimalfläche ohne planare
> Punkte und u [mm]\in[/mm] U mit n(u) [mm]\not=N.[/mm]
> Man zeige, dass [mm]h^{-1}[/mm] o [mm]n:U->\IR^2[/mm] lokal um u
> invertierbat ist
> Hallo
> Ich würde anfangen, [mm]h^{-1}[/mm] o n zu bestimmen.
> n wird wohl die Gaußabbildung sein, also [mm]n=\bruch{f_{u1} x f_{u2}}{\parallel f_{u1} x f_{u2} \parallel}[/mm]
> Jetzt [mm]h^{-1}[/mm] bestimmen. h(x,y) ist ein Vektor, also wäre
> das Inverse [mm](-1)*\bruch{1}{x^2+y^2+1}(2x,2y,x^2+y^2-1).[/mm]
Das ist $-h$, nicht [mm] $h^{-1}$. [/mm] Rechne die Inverse aus: Sei
[mm] (u,v,w) = h(x,y) [/mm]
mit [mm] $(u,v,w)\in S^2$, [/mm] also [mm] $u^2+v^2+w^2=1$, [/mm] und löse nach $(x,y)$ auf!
> Wie soll ich die beiden Funktionen verknüpfen?
Einfach einsetzen.
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank für die Hilfestellung
Gruß
TheBozz-mismo
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