Verknüpfung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Di 17.04.2007 | | Autor: | solero |
| Aufgabe | Ist p [mm] \in \IN [/mm] eine Primzahl und [mm] F_p [/mm] := {0,1,2,...,p-1}, so definiere die Verknüpfungen [mm] \oplus [/mm] und [mm] \otimes [/mm] auf [mm] F_p [/mm] per
a [mm] \oplus [/mm] b ist der Rest von a+b bei Division durch p
a [mm] \otimes [/mm] b ist der Rest von a*b bei Division durch p.
Weisen Sie explizit das Inverse [mm] \oplus [/mm] nach.
Hinweis: Sie dürfen folgende Eigenschaft ganzer Zahlen verwenden: Sind a,b [mm] \in \IZ [/mm] teilerfremd, so exisitieren m, n [mm] \in \IZ [/mm] mit m*a + n*b = 1. |
hi,
ich hoffe ihr könnt mir bei dieser verkorksten aufgabe helfen...
ich zweifle schon an der aufgabenstellung, zumal ich nicht weiss, wie ich folgende formulierung: " a [mm] \oplus [/mm] b ist der Rest von a+b bei Division durch p
a [mm] \otimes [/mm] b ist der Rest von a*b bei Division durch p. "
verstehen und auf die aufgabe übertragen soll!!!
|
|
| |
|
> Ist p [mm]\in \IN[/mm] eine Primzahl und [mm]F_p[/mm] := {0,1,2,...,p-1}, so
> definiere die Verknüpfungen [mm]\oplus[/mm] und [mm]\otimes[/mm] auf [mm]F_p[/mm] per
> a [mm]\oplus[/mm] b ist der Rest von a+b bei Division durch p
> a [mm]\otimes[/mm] b ist der Rest von a*b bei Division durch p.
>
> Weisen Sie explizit das Inverse [mm]\oplus[/mm] nach.
> Hinweis: Sie dürfen folgende Eigenschaft ganzer Zahlen
> verwenden: Sind a,b [mm]\in \IZ[/mm] teilerfremd, so exisitieren m,
> n [mm]\in \IZ[/mm] mit m*a + n*b = 1.
>
> ich zweifle schon an der aufgabenstellung, zumal ich nicht
> weiss, wie ich folgende formulierung: " a [mm]\oplus[/mm] b ist der
> Rest von a+b bei Division durch p
> a [mm]\otimes[/mm] b ist der
> Rest von a*b bei Division durch p. "
>
> verstehen und auf die aufgabe übertragen soll!!!
Hallo,
vielleicht hilft es, die Aufgabe an einem konkreten Beispiel zu verdeutlichen.
Nehmen wir als Primzahl p die 5, also p=5.
Dann ist [mm] F_p=\{0,1,2,3,4\}.
[/mm]
Nun bereichnen wir ein paar Summen:
2 [mm] \oplus [/mm] 1=???
Das Ergebnis der Verknüpfung ist laut Verknüpfungvorschrift der Rest, den 2+1=3 bei der Division durch 5 läßt. Also 3. Denn 3:5=0 Rest 3.
Daher: 2 [mm] \oplus [/mm] 1=3
3 [mm] \oplus [/mm] 4=???
Es ist 3+4=7
und 7:5=1 Rest 2.
Daher: 3 [mm] \oplus [/mm] 4=2
0 [mm] \oplus [/mm] 3=???
3:5=0 Rest 3, daher
0 [mm] \oplus [/mm] 3=3.
Ich hoffe, daß Du nun eine Vorstellung davon hast, worum es in der Aufgabe geht, für [mm] \otimes [/mm] macht man das entsprechend.
> Weisen Sie explizit das Inverse [mm]\oplus[/mm] nach.
Bevor Du das allgemein für p tust, überlege es Dir für p=5.
Welches ist hier das neutrale Element?
Und dann: welches ist das Inverse zu 1, zu 2, zu 3, zu 4, zu 0?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Mi 18.04.2007 | | Autor: | solero |
erstmal vielen dank für deine antwort, angela...
ja die inversen elemente für 5 sind doch jene, die bei der verknüpfung rest 0 ergeben wie z.B.: 2 [mm] \oplus [/mm] 3 = 0, oder nicht???
|
|
|
| |
|
> ja die inversen elemente für 5 sind doch jene, die bei der
> verknüpfung rest 0 ergeben wie z.B.: 2 [mm]\oplus[/mm] 3 = 0
Genau.
Das Inverse zu 2 ist (5-2)=3,
das Inverse zu 4 ist (5-4)=1.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mi 18.04.2007 | | Autor: | solero |
a [mm] \oplus [/mm] b : a+b=r/p
Inverse zu a: (p-a)=a'
ist denn diese formulierung für die allgemeinheit korrekt?
|
|
|
| |
|
> Inverse zu a: (p-a)=a'
>
> ist denn diese formulierung für die allgemeinheit korrekt?
Hallo,
ja. Du mußt es allerdings beweisen.
Schreib so:
Sei p Primzahl und sein a [mm] \in F_p.
[/mm]
Behauptung: Es ist a':=p-a das Inverse zu a.
Beweis: Hier beweist Du das nun, indem Du vorrechnest, daß a+a' das neutrale Element ergibt. Das bedingt natürlich, daß Du zuvor gezeigt hast, daß es ein neutrales Element gibt, und welches das ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
