Verkettung zweier Bijektionen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Verkettung zweier Bijektionen auf einer Menge M
wieder eine Bijektion ist. |
Ich habe bisher versucht mir ein kleines Bild aufzumalen, was ich zeigen soll. Schon danach stehe ich auf dem Schlauch: Wie kann ich allgemein zeigen, dass die Verkettung zweier Bijektionen auf einer Menge M wieder eine Bijektion ist? Ich weiß, dass ich die Injektivität und Surjektivität zeigen muss. Aber wie das allgemein geht, weiß ich nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Do 05.07.2018 | | Autor: | fred97 |
Seien $f:A [mm] \to [/mm] B$ und $g:B [mm] \to [/mm] C$ bijektiv und $h=g [mm] \circ [/mm] f$, also $h:A [mm] \to [/mm] C$.
Zu zeigen ist: h is bijektiv.
1. f und g sind surjektiv, also gilt f(A)=B und g(B)=C, also
$h(A)=g(f(A))=g(B)=C.$
Damit ist h surjektiv.
2. Seien x,y [mm] \in [/mm] A und h(x)=h(y). Dann f(g(x))=f(g(y)). Weil f injektiv ist, folgt g(x)=g(y). Weil g injektiv ist, bekommen wir x=y.
Damit ist h injektiv.
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Wow, vielen Dank für die Antwort!
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