Verkettung homotop < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien [mm] p,q,r:[0,1]\to [/mm] X Wege mit p(1)=q(0) und q(1)=r(0). Zeigen Sie, dass die Verkettungen [mm] (p\star q)\star [/mm] r und [mm] p\star(q\star [/mm] r) relativ homotop bezüglich [mm] \{0,1\} [/mm] zueinander sind. |
Hallo!
[mm] ((p\star q)\star r)(x)=\begin{cases} p(4*x), & \mbox{für } x\in[0,\bruch{1}{4}] \\ q(4*x-1), & \mbox{für } x\in[\bruch{1}{4},\bruch{1}{2}] \\ r(2*x-1), & \mbox{für } x\in[\bruch{1}{2},1] \end{cases}
[/mm]
[mm] (p\star(q\star r))(x)=\begin{cases} p(2*x), & \mbox{für } x\in[0,\bruch{1}{2}] \\ q(4*x-2), & \mbox{für } x\in[\bruch{1}{2},\bruch{3}{4}] \\ r(4*x-3), & \mbox{für } x\in[\bruch{3}{4},1] \end{cases}
[/mm]
So jetzt muss ich eine stetige Abbildung [mm] H:[0,1]^{2}\to [/mm] X finden, sodass [mm] H(-,0)=(p\star q)\star [/mm] r und [mm] H(-,1)=p\star(q\star [/mm] r) sowie H(0,t)=p(0) und H(1,t)=r(1). Irgendwie gelingt es mir nicht, genau zu bestimmen, wie H aussehen könnte...
[mm] H:[0,1]^{2}\to [/mm] X
[mm] (x,t)\mapsto \begin{cases} p(...), & \mbox{für } x\in[0,\bruch{1}{4}*(1+t)] \\ q(...), & \mbox{für } x\in[\bruch{1}{4}*(1+t),\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}*t] \\ r(...), & \mbox{für } x\in[\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}*t,1] \end{cases}
[/mm]
Zunächst hatte ich die Idee bei p z. B. als Argument 4*x-2*t*x zu nehmen, aber irgendwie haut das alles nicht hin.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 So 12.12.2010 | | Autor: | Salamence |
Mmh, bei p und q hab ich wohl etwas gefunden, nämlich [mm] p(4*x*(1-\bruch{t}{t+1})) [/mm] und q(4*x-1-t) aber bei r haut es partout nicht hin...
Wenn ich da [mm] r(\phi(x,t)) [/mm] nehme mit phi(x,t):=2*x(1+t)-1-2*t, dann ist zwar
[mm] \phi(x,0)=2*x-1, \phi(x,1)=4*x-3 [/mm] und [mm] \phi(1,t)=1 [/mm] aber [mm] \phi(\bruch{1}{2}+{1}{4}*t,t)=\bruch{t^2-t}{2}\not=0
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 17.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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