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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Mi 09.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Hi, Alle....
Bei mir geht es um folgendes:
[mm] f:\IR [/mm] \ [mm] \{-\bruch{b}{c}\} \to\IR [/mm] mit [mm] f(x)=\bruch{ax+d}{cx+b} [/mm] mit [mm] a,b,c,d\in\IR [/mm] und [mm] c\not=0.
[/mm]
Ich möchte nun a,b,c,d [mm] \in\IR [/mm] finden, für die gilt: f [mm] \circ [/mm] f = x, [mm] \forall x\in\IR [/mm] \ [mm] \{-\bruch{b}{c}\}.
[/mm]
Nun, durch Äquivalenzumformungen komme ich auf:
f(f(x))=x [mm] \gdw
[/mm]
(a(ax+d)+d(cx+b))(c(ax+d)+b(cx+b))=x.
Das sieht zwar schon nicht schlecht aus, denke ich, aber wie kanns nun weitergehen? Wäre dankbar für ne Idee o. ä.
MFG
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> f(f(x))=x [mm]\gdw[/mm]
>
> (a(ax+d)+d(cx+b))(c(ax+d)+b(cx+b))=x.
Hallo,
ich vermute mal, daß hier der Bruch verlorengegangen ist, nachgerechnet habe ich nichts.
Die Aufgabe war gerade dran, dort habe ich das weitere Vorgehen beschrieben.
Das Ergebnis der "Kandidatin" dort weicht von Deinem ab, auch abgesehen vom Bruchstrich, beachte, daß ich auch das dortige ergebnis nicht geprüft habe, sondern lediglich die vorgehensweise beschrieben.
Gruß v. Angela
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Nun hab ich's doch nachgerechnet.
Dein Ergebnis für f(f(x)) ist richtig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Do 10.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Ok, aber wie komme ich jetzt nun auf a,b,c,d?
Ich habe also: (a(ax+d)+d(cx+b))(c(ax+d)+b(cx+b))=x.
[mm] \Rightarrow x=(a^{3}c)x^{2}+(a^{2}cb)x^{2}+(adc^{2})x^{2}+(d^{2}cb)x^{2}+2(a^{2}cd)x+(a^{2}b^{2})x+(c^{2}d^{2})x+2(abcd)x+2(b^{2}cd)x+(acd^{2})+(adb^{2})+(bcd^{2})+(db^{2})
[/mm]
Warum sollen die Koeffizienten gleich null ergeben und inwiefern soll mir das bei der Findung von a,b,c,d helfen?
MFG
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Hallo,
da hatten wir ein Mißverständnis - bzw. ich habe es nicht direkt (also gar nicht) gesagt:
MIT Bruchstrich wäre Dein Ergebnis richtig.
Da kommt
[mm] f(f(x))=\bruch{a(ax+d)+d(cx+b)}{c(ax+d)+b(cx+b)}
[/mm]
heraus, rechne das bitte nochmal nach, falls Du wirklich keinen Bruch hast.
Das hat natürlich Konsequenzen für die weitere Rechnung, aber das Wesentliche kann ich Dir an dem nun folgenden auch zeigen:
> Ich habe also: (a(ax+d)+d(cx+b))(c(ax+d)+b(cx+b))=x.
>
> [mm]\Rightarrow x=(a^{3}c)x^{2}+(a^{2}cb)x^{2}+(adc^{2})x^{2}+(d^{2}cb)x^{2}+2(a^{2}cd)x+(a^{2}b^{2})x+(c^{2}d^{2})x+2(abcd)x+2(b^{2}cd)x+(acd^{2})+(adb^{2})+(bcd^{2})+(db^{2})[/mm]
>
> Warum sollen die Koeffizienten gleich null ergeben und
> inwiefern soll mir das bei der Findung von a,b,c,d helfen?
Du müßtest hier nun nach Potenzen von x sortieren:
[mm] x=(a^{3}c+a^{2}cb+adc^{2})+d^{2}cb)x^{2}+(2a^{2}cd+a^{2}b^{2}+c^{2}d^{2}+2abcd+2b^{2}cd)x [/mm] + (...)
Du hast nun links ein Polynom stehen, nämlich x=1*x und rechts das lange Polynom zweiten Grades.
Polynome sind gleich, wenn die Koeffizienten gleich sind.
Also muß sein:
[mm] 0=a^{3}c)x^{2}+(a^{2}cb)x^{2}+(adc^{2})x^{2}+(d^{2}cb [/mm] (das, was vor [mm] x^2 [/mm] steht)
[mm] 1=2a^{2}cd+a^{2}b^{2}+c^{2}d^{2}+2abcd+2b^{2}cd [/mm] (vor x)
0=(...) (vor [mm] x^0=1)
[/mm]
Hieraus kannst Du dann die möglichen Lösungen für a,b,c,d errechnen.
Wenn Du den richtigen Term für f(f(x)) nimmst, dürfte es einfacher gehen...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Do 10.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Ok, Bruch ist natürlich richtig..... 
Ich glaube ich verstehe das langsam, dann würde ich also folgendermaßen vorgehen:
$ [mm] f(f(x))=\bruch{a(ax+d)+d(cx+b)}{c(ax+d)+b(cx+b)} [/mm] $ [mm] \gdw
[/mm]
a(ax+d)+d(cx+b)=x(c(ax+d)+b(cx+b)) [mm] \gdw
[/mm]
[mm] a^{2}x+ad+cdx+bd=cax^{2}+cdx+cbx^{2}+xb^{2} \gdw
[/mm]
[mm] 0=(ac+cb)x^{2}+(cd+b^{2}-a^{2}-cd)x+(-ad-bd) \gdw
[/mm]
i) 0=ac+cb [mm] \gdw [/mm] a=-b
ii) [mm] 0=cd+b^{2}-a^{2}-cd \gdw a^{2}=b^{2}
[/mm]
iii) 0=-ad-bd [mm] \gdw [/mm] b=-a
Ist das jetzt soweit korrekt? Und wenn ja, was ist mit c und d?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Do 10.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Kann ich denn für c und d nichts aus [mm] \IR [/mm] einsetzten, sodass f $ [mm] \circ [/mm] $ f = x ist?
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Do 10.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wenn du nur irgendeine Funktion suchst, kannst du doch einfach 1/x nehmen.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Do 10.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Hat mir leider nicht wirklich geholfen.
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Do 10.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ok, Bruch ist natürlich richtig.....
>
> Ich glaube ich verstehe das langsam, dann würde ich also
> folgendermaßen vorgehen:
>
> [mm]f(f(x))=\bruch{a(ax+d)+d(cx+b)}{c(ax+d)+b(cx+b)}[/mm] [mm]\gdw[/mm]
>
> a(ax+d)+d(cx+b)=x(c(ax+d)+b(cx+b)) [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]a^{2}x+ad+cdx+bd=cax^{2}+cdx+cbx^{2}+xb^{2} \gdw[/mm]
>
> [mm]0=(ac+cb)x^{2}+(cd+b^{2}-a^{2}-cd)x+(-ad-bd) \gdw[/mm]
>
> i) 0=ac+cb [mm]\gdw[/mm] a=-b
hier fehlt die 2. Lösung c=0
> ii) [mm]0=cd+b^{2}-a^{2}-cd \gdw a^{2}=b^{2}[/mm]
>
> iii) 0=-ad-bd [mm]\gdw[/mm] b=-a
oder d=0
> Ist das jetzt soweit korrekt? Und wenn ja, was ist mit c
> und d?
offensichtlich c,d beliebig!
oder c=d=0 a,b beliebig!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Do 10.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
Verstehe.... Danke schön. Wobei die Voraussetzung [mm] c\not=0 [/mm] lautet, deshalb gehe ich davon aus, dass der fall nicht eintreten kann.!? Ist d und c dann dennoch beliebig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Do 10.05.2007 | | Autor: | MasterMG |
wie gesagt, nach Voraussetzung ist c [mm] \not=0, [/mm] also triit der Fall doch nicht ein, oder? Folglich hab ich keine Aussage über c, dass darauf schliessen lässt, dass es für irgendein c [mm] \in\IR [/mm] gilt, oder? und für d=0 komm ich leider nicht auf f(f(x))=x
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Do 10.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] c\ne [/mm] 0 hatte ich nicht gesehen. (dann hilft d=0 auch nix)
dann gibts nur deine Lösung mit a=-b, c,d beliebig mit [mm] c\ne [/mm] 0
Gruss leduart
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