Verhalten im Unendlichen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | f(x)=0,5x+0,5+(2/x²) |
Halli Hallo ...
Hätte mal eine kurze Frage wieder:
und zwar, ist das Ergebnis des Verhaltens im unendlichen dieser funktion 0 oder 1?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Di 08.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mervelein!
Lautet Deine Funktion wie folgt:
$$f(x) \ = \ [mm] 0{,}5*x+0{,}5+\bruch{2}{x^2}$$
[/mm]
Dann stimmt weder das Eine noch das Andere. Für [mm] $x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] wird der Term [mm] $\bruch{2}{x^2}$ [/mm] nahezu Null, so dass sich die Funktion immer mehr an die Gerade $g(x) \ = \ 0{,}5*x+0{,}5$ annähert.
Und was passiert bei dieser Geraden für [mm] $x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | | f(x)=1/2*x+1/2+(2/x²) |
GENAU lautet die Funktion so...tut mir leid, mein Fehler es mit dezimalzahlen abgetippt zu haben...keine ahnung, ob es jetzt an deinem ergebnis eine veränderung macht...
Wenn es nichts verändern sollte, dann wäre es entsprechend der Geradengleichung für +Unendlich = +Unendlich und für -Unendlich = -Unendlich oder?
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Hallo Mervelein,
> f(x)=1/2*x+1/2+(2/x²)
> GENAU lautet die Funktion so...tut mir leid, mein Fehler
> es mit dezimalzahlen abgetippt zu haben...keine ahnung, ob
> es jetzt an deinem ergebnis eine veränderung macht...
Nein, wieso sollte es das? Ob nun mit Brüchen oder Dezimalzahlen dargestellt, ist einerlei.
>
> Wenn es nichts verändern sollte, dann wäre es
> entsprechend der Geradengleichung für +Unendlich =
> +Unendlich und für -Unendlich = -Unendlich oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ganz genau!
Gruß
schachuzipus
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Hmmm..., aber was ich noch nicht so richtig verstehe ist, woher ich jetzt weiß, dass sie sich der gerade nähern muss.
Wir hatten es in der schule so, dass die ganze funktion, besser gesagt jeden Dividend und Divisor, durch x teilen sollen.
wenn ich es mache, kriege ich die Funktion (tut mir leid, ich weiß nicht wie man es mit dem Dopplebruch hier macht)
((1x/x)/(2/x))+((1/x)/(2/x))+((2/x)/(x²/x))
heraus.
Der mittlere und hinterste Summand wäre ja =0, aber was ist mit dem ersten summanden?
Wenn man 2/x im nenner rechnet kommt ja auch nahezu 0 heraus und der Zähler wäre 1.
So, wenn ich jetzt aber den Zähler=1 durch den Nenner dividiere, der nahezu 0 ist, kommen immer [mm] \pm\infty [/mm] Zahlen raus. was ist es denn nun?
0,1, [mm] \pm\infty, [/mm] oder das mit der Geraden (zwar wäre das mit der Geraden und [mm] \pm\infty [/mm] dasselbe, aber egal...doppelt gemoppelt hält besser :) )
danke für eure Antworten!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Di 08.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Hmmm..., aber was ich noch nicht so richtig verstehe ist,
> woher ich jetzt weiß, dass sie sich der gerade nähern
> muss.
> Wir hatten es in der schule so, dass die ganze funktion,
> besser gesagt jeden Dividend und Divisor, durch x teilen
> sollen.
> wenn ich es mache, kriege ich die Funktion (tut mir leid,
> ich weiß nicht wie man es mit dem Dopplebruch hier macht)
> ((1x/x)/(2/x))+((1/x)/(2/x))+((2/x)/(x²/x))
> heraus.
> Der mittlere und hinterste Summand wäre ja =0, aber was
> ist mit dem ersten summanden?
> Wenn man 2/x im nenner rechnet kommt ja auch nahezu 0
> heraus und der Zähler wäre 1.
> So, wenn ich jetzt aber den Zähler=1 durch den Nenner
> dividiere, der nahezu 0 ist, kommen immer [mm]\pm\infty[/mm] Zahlen
> raus. was ist es denn nun?
> 0,1, [mm]\pm\infty,[/mm] oder das mit der Geraden (zwar wäre das
> mit der Geraden und [mm]\pm\infty[/mm] dasselbe, aber egal...doppelt
> gemoppelt hält besser :) )
> danke für eure Antworten!
Hallo,
statt einer Antwort: Berechne doch mal (nur für das eigene Verständnis) die Funktionswerte an den Stellen x=1000 und x= 1 000 000 (und auch noch bei -1000 und -1 000 000).
Das klärt sicher vieles.
Gruß Abakus
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Ok, danke für den hinweis...da kommt auch [mm] \pm\infty [/mm] raus, aber für das verständnis reicht es nicht aus...ich habe eine funktionsuntersucung gemacht und einen graph gezeichnet.Da sieht man auch, dass es [mm] \pm\infty [/mm] sein muss, aber rechnerisch weiß ich nicht wie man drauf kommt.außerdem könnte mir jmd vllt sagen was für eine symmetrie die funktion hat.ich habe rausbekommen punktsymmetrisch zum ursprung, aber das stimmt glaub ich auch nicht.habe f(-x) gebildet da kam -1x/2+1/2+2/x²...ist das dann auch -f(x) ?
und mir ist aufgefallen, dass 1x/2+1/2 die schiefe asymptote ist, aber das ist doch so, dass man mit dem rest der polynomdivision das verhalten im unendlichen prüft...so komme ich auch auf 0.
Ich weiß einfach nicht mehr weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Di 08.09.2009 | | Autor: | barb |
Hallo,
Doch, Du weißt, wie man rechnerisch draufkommt, nämlich mit dem, was Du oben gemacht hast. Du scheinst nur etwas unsicher, was denn nun das letzte Ergebnis ist.
Auch wenn im Zähler 1 und im nenner fast 0 steht, so ist doch letzlich der Wert des Quotienten also 1 durch etwas ganz kleines, also unendlich entscheidend.
Der Rest bei der Polynomdivision gibt nicht das generelle Verhalten der Funktion im Unendlichen an, sondern sagt Dir, je nachdem ob positiv oder negativ, ob die Funktion sich im Unendlichen von oben oder unten an die Asymptote annähert.
Zur Frage nach der Symmetrie: f(-x)=-f(x) bedeutet, dass man bei Multiplikation des gesamten f(x) mit -1 den Term von f(-x) erhalten soll. Dies ist hier nicht der Fall.
Barbara
Barbara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Mervelein |
Ich danke euch allen für eure erklärungen :)
Nun ist mir wieder einiges klarer...der dicke brett vor dem kopf ist wieder weg und ein "Aha-Effekt" ist aufgetreten.Ein positives zeichen, dass ich es verstanden habe :D:D
Liebsten danke nochmal :)
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Hallo Mervelein,
> f(x)=0,5x+0,5+(2/x²)
> Halli Hallo ...
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> Hätte mal eine kurze Frage wieder:
> und zwar, ist das Ergebnis des Verhaltens im unendlichen
> dieser funktion 0 oder 1?
>
Vielleicht hilft dir diese Erklärung:
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}+\bruch{2}{x^2} [/mm] ist zu untersuchen:
[mm] \lim_{x \to \infty}{f(x)}=\lim_{x \to \infty}{(\bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}+\bruch{2}{x^2})}
[/mm]
betrachte die einzelnen Summanden:
[mm] \bruch{1}{2}x \to \infty [/mm] ; [mm] \bruch{1}{2} [/mm] konstant ; [mm] \bruch{2}{x^2} \to [/mm] 0
Die  Grenzwerte darf man addieren: [mm] \lim_{x \to \infty}{f(x)} \to \infty +\bruch{1}{2}+0 \to \infty
[/mm]
analog für [mm] x\to-\infty
[/mm]
Gruß informix
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