Vergleichskriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Do 01.11.2007 | | Autor: | mandym |
| Aufgabe | | Sagt der Vergleichssatz etwas über die Konvergenz bzw. Divergenz der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] 1/ [mm] (\wurzel{k} [/mm] +1) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir haben das sonst immmer mit Betrag von ak gerechnet, aber bei dieser Funktion ändert sich da ja gar nichts. Heißt das dann einfach, dass sich mit dem Vergleichssatz nichts aussagen lässt. Müsste man so was eventuell noch beweisen?
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Hallo mandym,
versuche mal, zu deiner Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k}+1}$ [/mm] eine divergente Minorante zu finden
Für den Divergenznachweis bietet sich als Vergleichsreihe eingentlich fast immer die divergente harmonische Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ [/mm] an
Schätze also deine Reihe immer weiter gegen kleinere Reihen ab, bis am Ende die harmonische Reihe dasteht.
Und wenn die kleinere harmonische Reihe schon divergiert, so bleibt deiner armen größeren Reihe nichts anderes übrig, ala auch zu divergieren
Ich mache mal den Anfang:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k}+1}\ge\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}=$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2\sqrt{k}}=\frac{1}{2}\cdot{}$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k}}\ge [/mm] ...$
Kommste damit weiter?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Do 01.11.2007 | | Autor: | mandym |
> Schätze also deine Reihe immer weiter gegen kleinere Reihen
> ab, bis am Ende die harmonische Reihe dasteht.
> Ich mache mal den Anfang:
>
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k}+1}\ge\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}=[/mm][mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2\sqrt{k}}=\frac{1}{2}\cdot{}[/mm]
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k}}\ge ...[/mm]<
was heißt denn eine Reihe abzuschätzen? Die Rechenschritte kann ich nachvollziehen, außer das ich nicht weis wie man auf die zweite [mm] \wurzel{k} [/mm] kommt und warum dafür die 1 wegfällt (bzw. warum die Wurzel die 1 ersetzt).
Ich würde aber sonst sagen, dass die Reihe divergiert, weil sie kleiner ist, als der Betrag von ak, der mit k [mm] \to \infty [/mm] gegen 1 geht, richtig?
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Hallo mandym,
nach unten bzw. nach oben abschätzen heißt, einen kleineren bzw. größeren Ausdruck finden.
Du musst deine Reihe also immer weiter verkleinern (nach unten abschätzen), bis du die harmonische Reihe hast.
Alle Summanden in deiner Ausgangsreihe sind ja durchweg positiv.
Wie kann ich die verkleinern?
Nun, ich könnte die Zähler verkleinern, bringt aber nix, da steht schon die 1 ODER ich könnte die Nenner vergrößeren.
Das habe ich getan. Es ist doch für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] sicherlich [mm] $\sqrt{k}\ge [/mm] 1$
Dann habe ich mir solch einen Bruch (Glied der Reihe) [mm] $\frac{1}{\sqrt{k}+1}$ [/mm] genommen und statt ...+1 das größere [mm] ...+\sqrt{k} [/mm] in den Nenner geschrieben, also den Bruch und damit die Summe verkleinert.
Für die letzte notwendige Abschätzung überlege dir nun, wie du [mm] $\sqrt{k}$ [/mm] und $k$ gegeneinander abschätzen kannst....
Ok?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Do 01.11.2007 | | Autor: | mandym |
Ich denke ich habe es jetzt verstanden. Vielen Dank, dass sie sich die Zeit genommen haben, das ganze nochmal so ausführlich zu erklären!
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