Vergleich zweier Zufallszahlen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Mi 08.06.2022 | | Autor: | RobinB |
| Aufgabe | Gegeben seien zwei Zahlen a = 375, b = 270
Anhand dieser Zahlen werden zwei Zufallszahlen im Bereich [0.5;1]*Zahl generiert.
So ergeben sich die Zufallszahlen A = [188;375] und B = [135;270]
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass B>A gilt.
Wie groß muss a sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass B>A ist genau 2% beträgt. |
Gibt es für diese Aufgabenstellung eine Lösungsformel?
Der einzige mir bekannte Weg ist eine händische Lösung indem man für jedes mögliche Ergebnis von A schaut, wie viele Zahlen aus B darüberliegen
und anschließend alle Wahrscheinlichkeiten aufaddiert.
Eine Näherung lässt sich mit einer Unterteilung in Zahlenbereiche und einen anschließenden Vergleich erreichen.
Mit dieser Methode komme ich auf ein Ergebnis von ca. 12,5%.
Bei Teil b müsste das Ergebnis bei ca. 450 liegen (durch grobe Näherung ermittelt). Das genaue Ergebnis ist mir leider nicht bekannt.
Ich bin über jede Hilfestellung äußerst dankbar.
Ein Lösungsansatz zu anderen Zahlen würde mir auch sehr helfen, da ich neben dem genauen Ergebnis dieser Aufgabe auch an einer Formel für ähnliche Aufgabenstellungen
(zB. andere Zahlenräume oder andere gesuchte Wahrscheinlichkeiten) interessiert bin.
Ein herzliches Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Mi 08.06.2022 | | Autor: | RobinB |
natürlich bekomme ich genau nachdem ich die Frage gestellt habe eine gute Idee:
Bei zwei Zufallszahlen A [188;375] und B [135;270]
Allgemein A[c;d] und B[e;f]
Fälle für B>A:
Die erste Zahl aus B, welche größer sein kann als A ist 188+1 bzw. c+1. Diese ist größer als genau eine Zahl aus A. 188+2 ist größer als zwei Zahlen aus A usw.
Es ergibt sich die Reihe 1+2+3+4+...+n
wobei n genau f-c bzw. 270-188.
Somit lassen sich über n*(n+1)/2 die Anzahl der Fälle für B>A berechnen.
Die Gesamtzahl der Fälle ergibt sich durch (375-188+1)*(270-135+1)
Die Anzahl der gesuchten Fälle durch Gesamtanzahl ergibt dann:
3403/25568=0,133 bzw 13,3% als gesuchte Lösung.
Stimmt das so?
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Hallo RobinB,
für die Lösung dieser Aufgabe ist es ganz wichtig, die statistische Verteilung der Zufallszahlen in den jeweiligen Intervallen zu kennen.
Im vorliegenden Fall gehe ich einmal von der Annahme aus, dass etwa die Zufallszahl einer Gleichverteilung unter den im Intervall [a/2 .... a] liegenden ganzen Zahlen entspringt.
In der x-y-Ebene entsprechen dann die für das Ereignis "B>A" stehenden Punkte den Gitterpunkten(mit ganzzahligen x und y) innerhalb eines gewissen Polygons. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(B>A) ergibt sich dann aus dem
Quotienten n(Polygon) / n(Rechteck), wobei mit dem Rechteck der Bereich mit
a/2 ≤ x ≤ a und b/2 ≤ y ≤ b gemeint ist und mit n(Polygon) die Anzahl der Gitterpunkte innerhalb dieses Polygons.
Für eine approximative Lösung (insbesondere für eher größere Werte von a und b) kann man dann auf die exakte Abzählung der Gitterpunkte verzichten und anstelle der n(Polygon) , n(Rechteck) einfach mit F(Polygon) und F(Rechteck)
rechnen, also mit den Flächeninhalten der entsprechenden Figuren.
Im vorliegenden Beispiel mit deinen Zahlenwerten ist das "Rechteck" der Bereich {(x|y) | 137.5≤x≤375 , 135≤y≤270} und das "Polygon" derjenige Anteil des "Rechtecks", welcher oberhalb der Winkelhalbierenden mit der Gleichung y=x liegt.
In meiner Skizze erhalte ich für das "Polygon" das rechtwinklige Dreieck mit den Eckpunkten K(187.5|187.5), L(270|270), M(187.5,270). Die Flächeninhalte sind dann
F(Rechteck) = 187.5*135 = 25312.5
F(Polygon) = (82.5*82.5)/2 = 3403.125
und somit die resultierende (approximativ berechnete) Wahrscheinlichkeit
P(B>A) ≈ F(polygon)/F(Rechteck) ≈ 0.134 = 13.4%
LG , Al-Chwarizmi
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Um mir das Abzählen der Gitterpunkte im konkreten Fall zu ersparen, habe ich
(nachdem ich jahrelang kaum mehr programmiert habe) ein kleines Programm
in TI-Basic (z.B. für den Voyage200) erstellt, das für gegebene Werte von a und b
die exakte Wahrscheinlichkeit berechnen soll. Dem Progrämmchen habe ich zu
Deinen Ehren den Namen Robin(a,b) erteilt:
robin(a,b)
Func
Local ha,hb,x,y,m,g
floor(a/2) -> ha
floor(b/2) -> hb
0 -> m
0 -> g
For x, ha, a
For y, hb, b
m+1 -> m
If y>x Then
g+1 -> g
EndIf
EndFor
EndFor
Return g/m
EndFunc
Negativpunkt: Auf meinem armen Voyage-Rechner braucht das Programm
leider sehr lange für die Berechnung des Wertes robin(375,270).
Der gelieferte Wert ist P = g/m = 83/612 ≈ 0.1356
Auf Rechnern mit modernerer Software sollte das aber eigentlich so
ziemlich blitzartig möglich sein .....
LG , Al-Chw.
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Deine zusätzliche Frage war:
“Welchen Wert soll man der Größe a geben, damit (bei gleichbleibendem Wert b=270)
die Wahrscheinlichkeit P(B>A) den Wert 2% = 0.02 erhält ?“
Nach der grafischen Methode (Gleichverteilung mit Grundmenge [mm] $\IR [/mm] $ für die
Zufallszahlen) ergibt sich - nach den von HJKweseleit angegebenen Formeln -
eine quadratische Gleichung mit der Lösung a ≈ 468.8 (nebst einer weiteren,
hier nicht in Frage kommenden Zweitlösung).
Sind als Zufallszahlenwerte nur ganzzahlige Werte zugelassen, dann liefert mein
Progrämmchen "robin" folgende Ergebnisse:
robin(470,270) ≈ 0.01963
robin(469,270) ≈ 0.02075
Lassen wir für a auch nur ganzzahlige Werte zu, so liegen wir also mit der
Wahl a = 470 am nächsten beim Zielwert 0.02 für die Wahrscheinlichkeit
P(B>A).
Dass zwischen den Ergebnissen nach den beiden Betrachtungsweisen eine
(zwar recht geringe) Diskrepanz besteht, war natürlich zu erwarten !
LG und schönen Tag ! Al-Chw.
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Es scheint mir doch noch ein Fehler unterlaufen zu sein, nämlich bei
der Festlegung der Anfangswerte für die jeweiligen Werte von A und B.
Ist z.B. a=375 , so muss x (bzw. A) die Werte von 188 bis und mit 375
durchlaufen, und nicht von 187 bis und mit 375. Der Startwert ah für
den x-Wert müsste also gleich floor((a+1)/2) sein anstatt floor(a/2).
Somit erhalten wir das modifizierte Programm:
robin(a,b)
Func
Local ha,hb,x,y,m,g
floor((a+1)/2) -> ha
floor((b+1)/2) -> hb
0 -> m
0 -> g
For x, ha, a
For y, hb, b
m+1 -> m
If y>x Then
g+1 -> g
EndIf
EndFor
EndFor
Return g/m
EndFunc
Auf die Angabe der sich daraus ergebenden numerischen Korrekturen
bei den Lösungen verzichte ich aber hier mit einer Ausnahme:
Für robin(375,270) ergibt sich nun der Wert 3403/25568 ≈ 0.133096 ,
was nun doch exakt dem Wert entspricht, welchen RobinB schon in
seiner ursprünglichen Frage angegeben hatte.
Zitat von dort:
"Die Gesamtzahl der Fälle ergibt sich durch (375-188+1)*(270-135+1)
Die Anzahl der gesuchten Fälle durch Gesamtanzahl ergibt dann:
3403/25568=0,133 bzw 13,3% als gesuchte Lösung.
Stimmt das so?"
Antwort: Ja, das stimmt !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Do 09.06.2022 | | Autor: | RobinB |
Vielen Dank für die schnelle Lösung. Hätte nicht gedacht, dass sich das ganze grafisch lösen lässt.
Ich verstehe leider noch nicht genau, wie du auf die 2. Fläche (82,5*82,5/2) kommst.
Könntest du diesen Schritt nochmals genauer erklären?
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> Ich verstehe leider noch nicht genau, wie du auf die 2.
> Fläche (82,5*82,5/2) kommst.
> Könntest du diesen Schritt nochmals genauer erklären?
Dies ist der Flächeninhalt des gleichschenklig-rechtwinkligen
Dreiecks oberhalb der Geraden y=x im betrachteten Rechteck.
HJKweseleit hat dazu eine schöne Grafik geliefert, in welcher
das Dreieck hellblau gefärbt ist.
Zeichnung HJK
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Do 09.06.2022 | | Autor: | statler |
Hallo,
![[]](/images/popup.gif) hier ist ein ähnliches Problem (mit Lösung).
Gruß Dieter
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Du benutzt zwar nur ganze Zahlen, schreibst aber nicht, dass nicht auch andere reelle Zahlen zulässig sind (bei einem Intervall ist das i.A. so). Für diesen Fall und - wenn nur natürliche Zahlen erlaubt sind, für große a und b - gilt folgende Überlegung:
1. Es sei a [mm] \ge [/mm] b, falls nicht, vertauschen wir beide Zahlen.
2. Zufällige Auswahl bedeutet hier Gleichverteilung.
3. Jeder Auswahl entspricht daher einem Punkt in dem bunten Rechteck rechts oben.
4. Für Punkte auf der 45°-Linie gilt A=B, für Punkte in der blauen Fläche B>A, für Punkte in der roten Fläche B<A.
5. Die Flächeninhalte entsprechen den Wahrscheinlichkeiten.
Somit:
Für b<a/2 ist die gesuchte W. Null.
Für a/2 [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] a (s. Bild) verlässt die Schräge die Figur in der Höhe b und in der Breite a/2+x.
Weil auf der Schrägen Höhe und Breite gleich sind, ist b=a/2+x und damit x=b-a/2.
Somit hat das blaue Dreieck den Flächeninhalt [mm] (b-a/2)^2/2, [/mm] das gesamte bunte Rechteck den Flächeninhalt (a/2)*(b/2).
Damit ist der blaue Flächenanteil und somit die gesuchte W. [mm] 2(b-a/2)^2/(ab).
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Danke HJK !
Du hast damit das ausführlich dargestellt, was ich mir auch schon überlegt hatte.
Gruß , Al-Chwarizmi
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