Vergleich zweier Varianzen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Draugr |
Hallo! 
Ich habe zwei Schätzverfahren und soll eine Aussage treffen, welches von beiden "besser" ist. Dazu habe ich die Varianz beider Verfahren berechnet und möchte nun wissen, welche von beiden kleiner ist. Problem: es sind zwei Polynome.
Wie gehe ich so ein Problem am geschicktesten an?
Die Varianzen sind:
$ [mm] Var^{\theta}(g_{n}(x))=\bruch{14-10\theta-4\theta^{2}}{4n} [/mm]
$ [mm] Var^{\theta}(h_{n}(x))=\bruch{\theta-\theta^{2}}{n} [/mm] $
Mein erster Gedanke war "ungleich setzen" und dann die Variablen auf beiden Seiten zu eliminieren, aber das führte mich zu nichts aus dem ich etwas hätte schließen können. Außerdem wüsste ich nicht ob ich den Anfang mit $ [mm] Var^{\theta}(h_{n}(x)) [/mm] > [mm] Var^{\theta}(g_{n}(x)) [/mm] $ setzen sollte oder mit $ [mm] Var^{\theta}(h_{n}(x)) [/mm] < [mm] Var^{\theta}(g_{n}(x)) [/mm] $
Gruß
Chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Do 29.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Draugr!
Naja, es geht doch genau so:
[mm] $Var^{\theta}(h_n(x)) [/mm] < [mm] Var^{\theta}(g_n(x))$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \quad \frac{14-10\theta -4\theta^2}{4n} [/mm] < [mm] \frac{\theta - \theta^2}{n}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \quad 14-10\theta [/mm] - [mm] 4\theta^2 [/mm] < [mm] 4\theta [/mm] - [mm] 4\theta^2$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \quad [/mm] - 14 [mm] \theta [/mm] < -14$
[mm] $\Leftrightarrow \quad \theta [/mm] > 1$.
Gleiches gilt für "$=$".
Wir haben also: Das zweiter Verfahren ist genau dann "besser" (also die Varianz kleiner), wenn [mm] $\theta>1$ [/mm] ist. Im Falle [mm] $\theta=1$ [/mm] sind beide Verfahren "gleich gut" (also die Varianz gleich) und im Falle [mm] $\theta<1$ [/mm] ist das erste Verfahren "besser" (also die Varianz kleiner).
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Do 29.09.2005 | | Autor: | Draugr |
Vielen Dank!
Wie ich das Ungleichheitszeichen am Anfang setze ist also irrelevant, ich muss einfach das Ergebnis am Ende der Umformungen richtig interpretieren? Habe ich das richtig verstanden?
Gruß
Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Do 29.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Draugr!
Genau so ist es! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Do 29.09.2005 | | Autor: | Draugr |
Herzlichen Dank nochmal!
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Hallo Chris,
Zwei Schätzer allein über die Varianz zu vergleichen reicht nur, wenn beide erwartungstreu sind oder bei beiden der Bias betragsmäßig gleich ist.
Allgemein vergleicht man Schätzer über den Mean Squared Error (MSE). Es gilt dabei:
[mm]MSE(X)=Bias^2(X) + Var(X)[/mm]
mfg
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Do 29.09.2005 | | Autor: | Draugr |
Danke, gut zu wissen! Da die Formel im Script nicht auftaucht vermute ich mal, dass in der Klausur nur erwartungstreue Schätzer mit betragsidentischem Bias auftauchen (in dieser Beispielaufgabe ist es so).
Aber ich behalte mir das auf jeden Fall im Hinterkopf, wer weiß ob nicht eine Aufgabe kommt in der man zumindest feststellen muss, dass zwei Schätzer bei denen Bias differiert oder einer nicht erwartungstreu ist, nicht so einfach vergleichbar sind.
Gruß
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Do 29.09.2005 | | Autor: | Draugr |
> Ich bin einfach von erwartungstreuen Schätzern
> ausgegangen.
In dieser Aufgabe allerdings zu Recht.
Gruß
Chris
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
