Vergleich Lebesgue & Regelint. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zum Vergleich zwischen Lebesgue- und Regelintegral. Diese Frage ist nur hier im Forum von mir gestellt worden :)
Was ich weiß ist, dass jede auf einem kompakten (!) Intervall regelintegrierbare Funktion f dort auch Lebesgue-Integrierbar ist.
Wenn ich nun aber zu offenen Mengen übergehe, also das uneigentliche Integral betrachte, gilt ja der Satz "f Lebesgue-integrierbar genau dann wenn |f| uneigentlich regelintegrierbar". Nun hatten wir eine Funktion, nämlich
[mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{sin x}{x}, & \mbox{für } x \mbox{> 0} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \end{cases}
[/mm]
und diese ist zwar uneigentlich regelintegrierbar, aber |f| nicht uneigentlich regelintegrierbar und damit f nicht Lebesgue-Integrierbar.
Das heißt ja, dass die größere "Power" des Lebesgue-Integrals nur für Funktionen auf kompakten Teilmengen gilt, nicht aber unbedingt auf offenen.
Ich frage mich, ob das soweit korrekt ist? Weil wenn man ja ein uneigentliches Integral hat, müsste man ja diverse Integrale "probieren" und versuchen, ob man einen Wert herausbekommt? Ist das wirklich so?
Dann noch eine Frage: Hat jemand vielleicht eine "anschauliche" Erklärung für diese Ursache, d.h. warum das Lebesgue-Integral hier versagt?
Wenn ich über |f| integriere, ist es klar, dass die evtl. Vorzeichenwechsel meiner Funktion nicht mehr existieren und damit sich größere Flächeninhalte möglicherweise nicht mehr "wegheben". Beim Lebesgue-Integral ist es ja so, dass an der Ordinatenachse die Unterteilung gemacht wird und der Flächeninhalt "unterhalb" der Abszissenachse damit auch negativ gewertet wird. Deshalb ist mir leider anschaulich noch nicht ganz klar, was da "schiefgeht".
Ich hoffe übrigens, dass ich hier im richtigen Forum gelandet bin, keine Einträge in der Suche übersehen habe und beim posten mich an alle Regeln gehalten habe. (Falls nicht - ein kleiner Hinweis genügt und ich werde mich bessern, versprochen :))
Vielen Dank für eure Hilfe!
Viele Grüße
Shurakai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 02.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Di 04.05.2010 | | Autor: | Shurakai |
Ich habe noch folgenden, älteren Eintrag in einem anderen Forum gefunden:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=127727
Vielleicht hilfts ja jemandem :)
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