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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Mi 09.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Es sei $f : M [mm] \rightarrow [/mm] N$ eine Abbildung, und es seien $A,B [mm] \subset [/mm] M$. Eine der beiden Aussagen $ f(A [mm] \cup [/mm] B) = f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)$, $f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$ ist falsch. Welche? Finde ein Gegenbeispiel. Lässt sich ein Teilresultat (z.B. eine Inklusion) beweisen? |
Hallo,
Die Durchschnittsmenge stimmt nicht, weil wenn ich eine Abbildung habe, die jedes Element durch sich selbst teilt, dann kann der Durchschnitt 2 Elemente haben aber vorher können die Teilmengen disjunkt sein.
Stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruss
kushkush
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Guten Abend,
> Es sei [mm]f : M \rightarrow N[/mm] eine Abbildung, und es seien [mm]A,B \subset M[/mm].
> Eine der beiden Aussagen [mm]f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)[/mm], [mm]f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)[/mm]
> ist falsch. Welche? Finde ein Gegenbeispiel. Lässt sich
> ein Teilresultat (z.B. eine Inklusion) beweisen?
> Hallo,
>
> Die Durchschnittsmenge stimmt nicht, weil wenn ich eine
> Abbildung habe, die jedes Element durch sich selbst teilt,
> dann kann der Durchschnitt 2 Elemente haben aber vorher
> können die Teilmengen disjunkt sein.
>
> Stimmt das so?
Mir ist zwar nicht klar, wie du zwei Elemente im Durchschnitt der Bilder der beiden Teilmengen erhalten willst, aber vom Prinzip her ... :
Definiere die (deiner Abbildung ähnliche) Abbildung $f:M [mm] \to\{1\}, x\mapsto [/mm] 1$, wobei [mm] $M\subseteq\IR, |M|\geq [/mm] 2$. Angenommen A, B sind zwei disjunkte nichtleere Teilmengen von M. Dann [mm] f(A)\cap f(B)=\{1\} [/mm] aber [mm] f(A\cap B)=f(\emptyset)=\emptyset
[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Gruss
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> kushkush
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Kamaleonti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mi 09.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
genau daran habe ich gedacht, dass jedes Element auf 1 abgebildet wird! Aber ich verstehe nicht, wie diese "Teilaufgabe":
> Lässt sich
> ein Teilresultat (z.B. eine Inklusion) beweisen?
gemeint ist. Was ist mit Teilresultat gemeint?
Danke!
Gruss
kushkush
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> Hallo kamaleonti,
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> genau daran habe ich gedacht, dass jedes Element auf 1
> abgebildet wird! Aber ich verstehe nicht, wie diese
> "Teilaufgabe":
> > Lässt sich
> > ein Teilresultat (z.B. eine Inklusion) beweisen?
>
> gemeint ist. Was ist mit Teilresultat gemeint?
>
Ich nehme an, es ist gemeint, dass du entweder
$ f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) $ oder $ f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \supseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) $ zeigen sollst.
>
> Danke!
>
> Gruss
>
> kushkush
Gruß
Kamaleonti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Mi 09.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
> Ich nehme an, es ist gemeint, dass du entweder
zz. [mm] $f(A\cup [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)$
[mm] $f(A\cup [/mm] B) [mm] \Rightarrow f(A)\cup [/mm] f(B)$
$x [mm] \in f(A\cup [/mm] B)$
[mm] $\Rightarrow f^{-1}(x) \in A\cup [/mm] B$
[mm] $\Rightarrow f^{-1}(x) \in [/mm] A [mm] \vee f^{-1}(x)\in [/mm] B$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B)$
Ist das so in Ordnung?
Danke und Gruss
kushkush
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Hi,
> zz. [mm]f(A\cup B) \subseteq f(A) \cup f(B)[/mm]
Nein. Du möchtest doch zeigen
$ [mm] f(A\cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) $
EDIT: Sorry, im vorangehenden Post hatte ich beim techen cup und cap verwechselt, deswegen stand es falsch da. Es macht aber gar keinen Sinn das mit den Vereinigungen als 'Teilinklusion' zu zeigen, die willst du ja für den Fall zeigen, wo die Behauptung eingangs nicht gestimmt hat
> [mm]f(A\cup B) \Rightarrow f(A)\cup f(B)[/mm]
Das was links und rechts vom Implikationspfeil steht sind keine Aussagen, die Konstruktion macht daher wenig Sinn.
>
> [mm]x \in f(A\cup B)[/mm]
> [mm]\Rightarrow f^{-1}(x) \in A\cup B[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f^{-1}(x) \in A \vee f^{-1}(x)\in B[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x \in f(A) \cup f(B)[/mm]
>
Wer sagt, dass es eine Umkehrfunktion gibt? Die Abbildung muss doch nicht bijektiv sein.
Zum Beweis der Behauptung überlege dir nun, dass [mm] $A\cap B\subseteq [/mm] A$ und [mm] $A\cap B\subseteq [/mm] B$. Dann ist die Behauptung fast trivial
Kamaleonti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Do 10.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Die Vereinigung hat wenn sie nicht disjunkt ist weniger Elemente als die einzelnen Abbildungen zusammen weil die Überlappenden Elemente nicht doppelt gezählt werden.
[mm] $Anz.Elemente(A\cup [/mm] B) = Anz.Elemente(A)+Anz.Elemente(B) - [mm] (A\cap [/mm] B) [mm] \Rightarrow f(A\cup B)\subseteq f(A)\cup [/mm] f(B) $ ?
Danke.
Gruss
kushkush
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> Hallo,
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> Die Vereinigung hat wenn sie nicht disjunkt ist weniger
> Elemente als die einzelnen Abbildungen zusammen weil die
> Überlappenden Elemente nicht doppelt gezählt werden.
>
> [mm]Anz.Elemente(A\cup B) = Anz.Elemente(A)+Anz.Elemente(B) - (A\cap B) \Rightarrow f(A\cup B)\subseteq f(A)\cup f(B)[/mm]
Moin,
mir ist gar nicht klar, was du mit der Vereinigung zeigen willst.
du willst doch zeigen $ [mm] f(A\cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) $ und weißt dafür $ [mm] A\cap B\subseteq [/mm] A $ und $ [mm] A\cap B\subseteq [/mm] B $, also [mm] $f(A\cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(A)$ und [mm] $f(A\cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(B)$ und die Behauptung ist klar.
Kamaleonti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:58 Do 10.02.2011 | | Autor: | kushkush |
OK,
Danke kamaleonti!
Gruss
kushkush
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