Vereinigung l.u. Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei ein K-Vektorraum und f [mm] \in End_K(V).
[/mm]
Seien [mm] \lambda_1,...,\lambda_r \in [/mm] K paarweise verschiedene Eigenwerte von f, sowie [mm] B_i [/mm] jeweils eine Menge von linear unabhängigen Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] \lambda_i.
[/mm]
Zeigen Sie, dass dann auch [mm] B:=B_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup B_r [/mm] linear unabhängig ist. |
Grüßt euch,
ich habe große Probleme mit dem Schreiben des Beweises und einige Fragen:
Die Aussage behauptet nichts weiteres, als das die verschiedene Eigenräume mit ihren Eigenvektoren zu ihren Eigenwerten jeweils voneinander linear unabhängig sind - stimmt das so?
Wenn ja, wie fange ich am besten an mit dem Beweis?
Ich habe schon an einer Aufgabe erkannt, dass die Aussage wahr ist, bloß habe ich Probleme, dass eben zu beweisen.
Viele Grüße,
Ne0the0ne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Do 21.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei ein K-Vektorraum und f [mm]\in End_K(V).[/mm]
> Seien
> [mm]\lambda_1,...,\lambda_r \in[/mm] K paarweise verschiedene
> Eigenwerte von f, sowie [mm]B_i[/mm] jeweils eine Menge von linear
> unabhängigen Eigenvektoren zum Eigenwert [mm]\lambda_i.[/mm]
> Zeigen Sie, dass dann auch [mm]B:=B_1 \cup[/mm] ... [mm]\cup B_r[/mm] linear
> unabhängig ist.
> Grüßt euch,
> ich habe große Probleme mit dem Schreiben des Beweises
> und einige Fragen:
>
> Die Aussage behauptet nichts weiteres, als das die
> verschiedene Eigenräume mit ihren Eigenvektoren zu ihren
> Eigenwerten jeweils voneinander linear unabhängig sind -
> stimmt das so?
Na ja, das ist sehr verschwurbelt ausgedrückt. Vielleicht meinst Du das Richtige.
Zu zeigen ist: sind $ [mm] \lambda_1,...,\lambda_r \in [/mm] K $ paarweise verschiedene Eigenwerte von f und sind [mm] x_1,...,x_r [/mm] zugehörige Eigenvektoren, also [mm] $f(x_j)=\lambda_j x_j$ [/mm] , so sind [mm] x_1,...,x_r [/mm] linear unabhängig.
Tipp: Induktion nach r.
FRED
>
> Wenn ja, wie fange ich am besten an mit dem Beweis?
> Ich habe schon an einer Aufgabe erkannt, dass die Aussage
> wahr ist, bloß habe ich Probleme, dass eben zu beweisen.
>
> Viele Grüße,
> Ne0the0ne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Do 21.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> Zu zeigen ist: sind [mm]\lambda_1,...,\lambda_r \in K[/mm]
> paarweise verschiedene Eigenwerte von f und sind
> [mm]x_1,...,x_r[/mm] zugehörige Eigenvektoren, also
> [mm]f(x_j)=\lambda_j x_j[/mm] , so sind [mm]x_1,...,x_r[/mm] linear
> unabhängig.
Die Aussage aus der Aufgabenstellung ist etwas allgemeiner: In den dortigen Mengen [mm] $B_j$ [/mm] können jeweils mehrere Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert [mm] $\lambda_j$ [/mm] sein.
> Tipp: Induktion nach r.
Dieser Tipp ist aber auch für die allgemeinere Aufgabenstellung passend.
Viele Grüße
Tobias
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Vielen lieben Dank für euren Tipp, er hat mir sehr geholfen.
Ich habe den Induktionsbeweis geschrieben - würdet ihr den mal kurz auf Tauglichkeit prüfen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Fr 22.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielen lieben Dank für euren Tipp, er hat mir sehr
> geholfen.
> Ich habe den Induktionsbeweis geschrieben - würdet ihr
> den mal kurz auf Tauglichkeit prüfen?
Hab ich gemacht ! Dein Beweis ist leider durchgefallen. Leider hast Du Deinen Beweis als Bild eingestellt. So kann man nichts kommentieren. Ich selbst habe keine Lust alles abzuschreiben. Stelle also Deinen "Beweis" so ein, dass man ihn kommentieren kann. Dann sage ich Dir gerne , was alles nicht in Ordnung ist.
FRED
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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Hier der gewünschte Quelltext:
Induktionsanfang:
[mm] f(x_1)=\lambda_1 x_1, f(x_2)=\lambda_2 x_2.
[/mm]
[mm] \summe_{j=1}^{2}a_jf(x_j)=0,
[/mm]
also [mm] a_1f(x_1)+a_2f(x_2)=0,
[/mm]
also [mm] a_1\lambda_1x_1+a_2\lambda_2x_2,
[/mm]
also [mm] a_1\lambda_1x_1=-a_2\lambda_2x_2
[/mm]
[mm] a_1=-\bruch{a_2\lambda_2x_2}{\lambda_1x_1}, [/mm] für [mm] a_2=0 [/mm] ist [mm] a_1=0 [/mm] bzw.
[mm] a_2=-\bruch{a_1\lambda_1x_1}{\lambda_2x_2}, [/mm] für [mm] a_1=0 [/mm] ist [mm] a_2=0,
[/mm]
also [mm] 0=0(fx_1)+0f(x_2),
[/mm]
also 0=0, womit [mm] x_1,x_2 [/mm] linear unabhängig sind.
Induktionsbehauptung
[mm] \summe_{j=1}^{r}a_jf(x_j)=a_1f(x_1)+...+a_rf(x_r)=0
[/mm]
Induktionsschritt
[mm] \summe_{j=1}^{r+1}a_jf(x_j)=0,
[/mm]
also [mm] \summe_{j=1}^{r}a_jf(x_j)+a_r_+_1f(x_r_+_1)=0,
[/mm]
also [mm] 0+a_r_+_1f(x_r_+_1)=0 [/mm] mit [mm] a_r_+_1=0,
[/mm]
also [mm] \summe_{j=1}^{r+1}a_jf(x_j)=a_1f(x_1)+...+a_r_+_1f(x_r_+_1)=0.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Fr 22.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ne0the0ne!
> Hier der gewünschte Quelltext:
Danke. 
Du möchtest nun offenbar nicht die Aussage aus der Aufgabenstellung, sondern die von Fred genannte Aussage zeigen:
> Zu zeigen ist: sind $ [mm] \lambda_1,...,\lambda_r \in [/mm] K $ paarweise verschiedene Eigenwerte von f und sind $ [mm] x_1,...,x_r [/mm] $ zugehörige Eigenvektoren, also
[mm] $x_1,\ldots,x_r\not=0$ [/mm] und
> $ [mm] f(x_j)=\lambda_j x_j [/mm] $ , so sind $ [mm] x_1,...,x_r [/mm] $ linear unabhängig.
Diese Aussage möchtest du nun per Induktion nach r nachweisen.
> Induktionsanfang:
Den Induktionsanfang würde ich mit $r=0$ durchführen.
Du möchtest ihn offenbar mit $r=2$ durchführen.
Das ist völlig ok, wenn du die Behauptung nur für [mm] $r\ge [/mm] 2$ benötigst.
> [mm]f(x_1)=\lambda_1 x_1, f(x_2)=\lambda_2 x_2.[/mm]
Ja, das gilt im Falle $r=2$.
> [mm]\summe_{j=1}^{2}a_jf(x_j)=0,[/mm]
Was meinst du mit [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$?
[/mm]
> also [mm]a_1f(x_1)+a_2f(x_2)=0,[/mm]
Folgerichtig.
> also [mm]a_1\lambda_1x_1+a_2\lambda_2x_2,[/mm]
Folgerichtig.
> also [mm]a_1\lambda_1x_1=-a_2\lambda_2x_2[/mm]
Folgerichtig.
> [mm]a_1=-\bruch{a_2\lambda_2x_2}{\lambda_1x_1},[/mm]
Rechts vom Gleichheitszeichen steht ein Bruch von Vektoren.
Eine Division von Vektoren ist (in beliebigen Vektorräumen) jedoch gar nicht definiert.
> für [mm]a_2=0[/mm] ist
> [mm]a_1=0[/mm] bzw.
> [mm]a_2=-\bruch{a_1\lambda_1x_1}{\lambda_2x_2},[/mm] für [mm]a_1=0[/mm] ist
> [mm]a_2=0,[/mm]
Mit deiner fehlerhaften Argumentation glaubst du also gezeigt zu haben:
Wenn einer der beiden Skalare [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] den Wert 0 hat, dann auch der andere der beiden Skalare.
Du hast nicht gezeigt, dass [mm] $a_1=a_2=0$ [/mm] gilt.
> also [mm]0=0(fx_1)+0f(x_2),[/mm]
Das ist zweifellos eine korrekte Gleichheit (völlig unabhängig von den bisherigen Überlegungen).
> also 0=0,
Auch diese Gleichheit stimmt sicherlich (wieder völlig unabhängig von den bisherigen Überlegungen).
> womit [mm]x_1,x_2[/mm] linear unabhängig sind.
Das ist zu zeigen.
Zu zeigen ist also:
Für ALLE [mm] $a_1,a_2\in [/mm] K$ mit [mm] $a_1x_1+a_2x_2=0$ [/mm] gilt bereits [mm] $a_1=a_2=0$.
[/mm]
Seien also [mm] $a_1,a_2\in [/mm] K$ mit
(1) [mm] $a_1x_1+a_2x_2=0$
[/mm]
beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist [mm] $a_1=a_2=0$.
[/mm]
Aus (1) folgt durch Anwendung von f
(2) [mm] $f(a_1x_1+a_2x_2)=f(0)$.
[/mm]
Indem wir das [mm] "$\lambda_2$-fache [/mm] von (1)" von (2) subtrahieren, erhalten wir
[mm] $f(a_1x_1+a_2x_2)-\lambda_2*(a_1x_1+a_2x_2)=f(0)-\lambda_2*0$.
[/mm]
Rechne nun die beiden Seiten dieser Gleichheit aus.
> Induktionsbehauptung
(Meinst du Induktionsvoraussetzung?)
> [mm]\summe_{j=1}^{r}a_jf(x_j)=a_1f(x_1)+...+a_rf(x_r)=0[/mm]
Was meinst du mit [mm] $a_1,\ldots,a_r$?
[/mm]
Ich erkenne keinen Zusammenhang zur linearen Unabhängigkeit von [mm] $x_1,\ldots,x_r$.
[/mm]
> Induktionsschritt
> [mm]\summe_{j=1}^{r+1}a_jf(x_j)=0,[/mm]
Wieder die Frage: Was sind [mm] $a_1,\ldots,a_{r+1}$?
[/mm]
(Soll [mm] $\summe_{j=1}^{r+1}a_jf(x_j)=0$ [/mm] eine Annahme oder eine Schlussfolgerung sein?)
> also [mm]\summe_{j=1}^{r}a_jf(x_j)+a_r_+_1f(x_r_+_1)=0,[/mm]
Folgerichtig.
> also [mm]0+a_r_+_1f(x_r_+_1)=0[/mm]
Wenn deine [mm] $a_1,\ldots,a_r$ [/mm] die Eigenschaft [mm] $a_1f(x_1)+...+a_rf(x_r)=0$ [/mm] haben, ist das folgerichtig.
> mit [mm]a_r_+_1=0,[/mm]
Warum das?
[mm] $f(x_{r+1})$ [/mm] könnte der Nullvektor unseres Vektorraumes sein.
Dann folgt aus [mm] $a_{r+1}f(x_{r+1})=0$ [/mm] für beliebiges [mm] $a_{r+1}\in [/mm] K$ keineswegs notwendigerweise [mm] $a_{r+1}=0$.
[/mm]
> also
> [mm]\summe_{j=1}^{r+1}a_jf(x_j)=a_1f(x_1)+...+a_r_+_1f(x_r_+_1)=0.[/mm]
Mit dieser Annahme (?) warst du doch oben gestartet???
Zum Induktionsschritt von r nach r+1:
Wir nehmen an, dass Freds Aussage für eine feste natürliche Zahl $r$ gilt.
Zeigen müssen wir nun Folgendes:
Sind $ [mm] \lambda_1,...,\lambda_r,\lambda_{r+1}\in [/mm] K $ paarweise verschiedene Eigenwerte von f und sind $ [mm] x_1,...,x_r,x_{r+1} [/mm] $ zugehörige Eigenvektoren, so sind $ [mm] x_1,...,x_r,x_{r+1}$ [/mm] linear unabhängig.
Seien also [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_r,\lambda_{r+1}\in [/mm] K$ paarweise verschiedene Eigenwerte von f und [mm] $x_1,\ldots,x_r,x_{r+1}$ [/mm] zugehörige Eigenvektoren.
Zu zeigen ist die lineare Unabhängigkeit von [mm] $x_1,\ldots,x_r,x_{r+1}$.
[/mm]
Zu zeigen ist also:
Sind [mm] $a_1,\ldots,a_{r+1}\in [/mm] K$ mit [mm] $a_1x_1+\ldots+a_rx_r+a_{r+1}x_{r+1}=0$, [/mm] so gilt schon [mm] $a_1=\ldots,a_r=a_{r+1}=0$.
[/mm]
Seien also [mm] $a_1,\ldots,a_{r+1}\in [/mm] K$ mit
[mm] $a_1x_1+\ldots+a_rx_r+a_{r+1}x_{r+1}=0$
[/mm]
beliebig vorgegeben.
Wir müssen nun [mm] $a_1=\ldots=a_r=a_{r+1}=0$ [/mm] zeigen.
Gehe dazu ähnlich wie von mir für den Induktionsanfang vorgeschlagen vor.
Gemäß Induktionsvoraussetzung wissen wir schon, dass [mm] $x_1,\ldots,x_r$ [/mm] linear unabhängig sind.
Viele Grüße
Tobias
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