Vereinigung kompakter Mengen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Do 04.04.2013 | | Autor: | vivo |
Hallo,
wenn man [mm][0,1][/mm] betrachtet und man weiß:
[mm]\cap_{i=1}^{\infty}A_i=\emptyset[/mm]
Wobei die [mm]A_i[/mm] Vereinigung kompakter intervalle sind.
Warum weiss man dann im Gegensatz zu der Situation von Vereinigung offener Mengen, daSs:
[mm]\exists N: ~ \cap_{i=1}^{N}A_i=\emptyset[/mm]
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Hallo,
> Hallo,
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> wenn man [mm][0,1][/mm] betrachtet und man weiß:
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> [mm]\cap_{i=1}^{\infty}A_i=\emptyset[/mm]
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> Wobei die [mm]A_i[/mm] Vereinigung kompakter intervalle sind.
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> Warum weiss man dann im Gegensatz zu der Situation von
> Vereinigung offener Mengen, daSs:
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Bei offenen Mengen kann so etwas passieren: [mm] $A_i [/mm] = [mm] (0,\frac{1}{i})$.
[/mm]
Bei abgeschlossenen Mengen [mm] $A_i \subset [/mm] [0,1]$ hingegen bilden [mm] $U_i [/mm] := [0,1] [mm] \backslash A_i$ [/mm] eine offene Überdeckung von $[0,1]$.
Aus der Kompaktheit von $[0,1]$ folgt, dass es eine endliche Teilüberdeckung [mm] $U_{i_1},...,U_{i_n}$ [/mm] gibt. Du kannst dann $N := [mm] \max\{i_1,...,i_n\}$ [/mm] wählen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Sa 06.04.2013 | | Autor: | vivo |
Danke.
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