Vereinigung einer Potenzmenge < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Mo 18.06.2012 | | Autor: | havoc1 |
| Aufgabe | Es sei M eine Menge mit n Elementen, a [mm] \notin [/mm] M. Um wie viele Elemente ist
[mm] \mathfrak{P}(M\cup{a}) [/mm] größer als [mm] \mathfrak{P}(M)? [/mm] |
Meine Lösung war folgende: Ich bin durch überlegen darauf gekommen, dass die Formel für die Potenzmenge [mm] 2^n [/mm] lautet. Folglich, ist die erste Menge doppelt so groß als die zweite.
In meinem Buch fand ich eine andere, weitaus elegantere Lösung:
[mm] \mathfrak{P}(M\cup{a}) [/mm] = [mm] \mathfrak{P}(M) \cup [/mm] {A [mm] \cup [/mm] {a} : A [mm] \in \mathfrak{P} [/mm] (M)}. Offensichtlich sind das doppelt so viele Elemente wie in [mm] \mathfrak{P}(M)
[/mm]
Dazu habe ich zwei Fragen:
1. Wie konnte hier gefolgert werden, dass es doppelt soviele Elemente
sind.
2. Wie kommt man zu dieser Umformung? Kann man dies mit logischem Verstand herleiten? Oder muss man dazu gewisse Umformungsgesetze kennen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für eure Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Mo 18.06.2012 | | Autor: | Stoecki |
zu deiner ersten frage:
es wird die potenzmenge [mm] \mathfrak{P}(M) [/mm] genommen und diese wird mit einer neuen menge vereiningt. um diese menge zu konstruieren, wird einfach bei jedem element von [mm] \mathfrak{P}(M) [/mm] einfach noch das element a hinzugefügt. ergo kommen noch mal genauso viele mengen hinzu. damit sinds doppelt so viele wie zuvor
zu deiner zweiten frage:
nein, muss man nicht.
[mm] \mathfrak{P}(M\cup{a}) [/mm] = [mm] \mathfrak{P}(M) \cup [/mm] {A [mm] \cup [/mm] {a} [mm] \mid [/mm] A [mm] \in \mathfrak{P}(M)} [/mm] ist einfach nur die einteilung in die menge aller teilmengen, die a nicht enthalten (also [mm] \mathfrak{P}(M) [/mm] ) und den elementen (teilmengen), in denen a vorkommt: {A [mm] \cup [/mm] {a} [mm] \mid [/mm] A [mm] \in \mathfrak{P}(M)}
[/mm]
gruß bernhard
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