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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:19 Sa 04.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Es seien V ein Vektorraum und [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] zwei UVR von V. Welche Bedingung ist Äquivalent zu der Aussage:
[mm] U_1\cup U_2 [/mm] ist ein Untervektorraum von V.
Zeigen Sie diese Äquivalenz. |
Hallo,
ich dachte hierbei direkt an die zweite Bedinung von UVR. D.h. die Aussage die oben steht ist [mm] \gdw [/mm] zu v+u [mm] \in [/mm] U für v,w [mm] \in [/mm] U.
Ist das richtig?
Danke im voraus.
Lg Melisa
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> Es seien V ein Vektorraum und [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] zwei UVR von V.
> Welche Bedingung ist Äquivalent zu der Aussage:
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> [mm]U_1\cup U_2[/mm] ist ein Untervektorraum von V.
>
> Zeigen Sie diese Äquivalenz.
> Hallo,
>
> ich dachte hierbei direkt an die zweite Bedinung von UVR.
> D.h. die Aussage die oben steht ist [mm]\gdw[/mm] zu v+u [mm]\in[/mm] U für
> v,w [mm]\in[/mm] U.
>
> Ist das richtig?
Hallo,
mach Dir doch erstmal klar, worum es geht.
Du hast zwei Unterräume [mm] U_1, U_2 [/mm] eines Vektorraumes V und betrachtest nun [mm] U:=U_1\cup U_2.
[/mm]
Die Frage ist nun, unter welchen Bedingungen an [mm] U_1, U_2 [/mm] die Menge U ein Vektorraum ist.
I.a. ist dies nämlich nicht der Fall, wie Du Dir an den Unterräumen
[mm] U_1:=<\vektor{1\\0}>, U_2:=<\vektor{0\\1}> [/mm] des [mm] \IR^2
[/mm]
leicht (?) klarmachen kannst.
Daß für U die Unterraumkriterien erfüllt sein müssen, ist klar, aber die hier vielleicht nicht ganz deutlich gestellte Frage lautet:
wie müssen [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] "beschaffen" sein, damit das klappt?
Gruß v. Angela
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>
>
> Danke im voraus.
>
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Sa 04.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo Angela,
danke erstmal für deine Antwort.
> Daß für U die Unterraumkriterien erfüllt sein müssen,
> ist klar, aber die hier vielleicht nicht ganz deutlich
> gestellte Frage lautet:
> wie müssen [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] "beschaffen" sein, damit das
> klappt?
Ich glaube ich habs verstanden:
(U [mm] \cup [/mm] W) {Unterraum} [mm] \gdw [/mm] (U [mm] \subseteq [/mm] V) [mm] \vee [/mm] (V [mm] \subseteq [/mm] U)
???
Lg Melisa
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Sa 04.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Angela,
>
> danke erstmal für deine Antwort.
>
> > Daß für U die Unterraumkriterien erfüllt sein müssen,
> > ist klar, aber die hier vielleicht nicht ganz deutlich
> > gestellte Frage lautet:
> > wie müssen [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] "beschaffen" sein, damit das
> > klappt?
>
>
> Ich glaube ich habs verstanden:
>
> (U [mm]\cup[/mm] W) {Unterraum} [mm]\gdw[/mm] (U [mm]\subseteq[/mm] V) [mm]\vee[/mm] (V
> [mm]\subseteq[/mm] U)
>
> ???
Ja
FRED
>
>
> Lg Melisa
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:26 So 05.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe mir folgendes überlegt:
Betrachten wir also zwei Unterräume U, W eines Vektorraumes V .
Voraussetzungen
(1) U,W ist Unterraum von V
(2) U istkeine Teilmenge von W
Behauptung
W [mm] \subseteq [/mm] U
Beweis
Nach (2) gibt es ein [mm] u_0 \in [/mm] U mit [mm] u_0 \not\in [/mm] W .
Wir zeigen nun, dass ein beliebiges [mm] w\in [/mm] W auch [mm] \in [/mm] U ist, dass also [mm] W\subseteq [/mm] U gilt.
Nehmen wir uns also ein [mm] w\in [/mm] W .
und [mm] u_0, [/mm] w sind Elemente von [mm] U\cup [/mm] W. Nach (1) ist dann auch u+ w [mm] \in U\cup [/mm] W(Abgeschlossenheit). Es muss also [mm] u_0+w [/mm] in U oder in W liegen.
Wäre jetzt [mm] u_0+w\in [/mm] W, also [mm] u_0+w=w' [/mm] mit einem [mm] w#\in [/mm] W , so folgte aus dieser Gleichung [mm] u_0=w'-w\in [/mm] W(Abgeschlossenheit wegen Unterraumeigenschaft ).
Das ist aber nicht möglich, denn wir haben am Anfang des Beweises gesagt: es ist [mm] u_0 \not\in [/mm] W.
Dann bleibt nur noch die Möglichkeit [mm] u_0+w\in [/mm] UU , also [mm] u_0+w=u'\in [/mm] U mit einem u' [mm] \in [/mm] U. Hieraus folgt: [mm] w=u'-u_0\in [/mm] U (Abgeschlossenheit wegen Unterraumeigenschaft).
Damit ist gezeigt: [mm] W\subseteq [/mm] U.
Die eine richtigung wäre somit gezeigt.
Ein Gegenbeispiel für die andere Richtung hat Angela ja schon genannt
$ [mm] U_1:=<\vektor{1\\0}>, U_2:=<\vektor{0\\1}> [/mm] $ des [mm] \IR^2
[/mm]
Ist mein Beweis so richtig?
Lg Melisa
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> Hallo,
>
> ich habe mir folgendes überlegt:
>
> Betrachten wir also zwei Unterräume U, W eines
> Vektorraumes V .
>
> Voraussetzungen
>
> (1) U,W ist Unterraum von V
Hallo,
Du meinst sicher
(1) [mm] U\cup [/mm] W ist Unterraum von V
> (2) U istkeine Teilmenge von W
>
>
> Behauptung
>
> W [mm]\subseteq[/mm] U
>
> Beweis
>
> Nach (2) gibt es ein [mm]u_0 \in[/mm] U mit [mm]u_0 \not\in[/mm] W .
Ja.
> Wir zeigen nun, dass ein beliebiges [mm]w\in[/mm] W auch [mm]\in[/mm] U
> ist, dass also [mm]W\subseteq[/mm] U gilt.
>
> Nehmen wir uns also ein [mm]w\in[/mm] W .
>
> und [mm]u_0,[/mm] w sind Elemente von [mm]U\cup[/mm] W.
Ja.
> Nach (1) ist dann
> auch u+ w [mm]\in U\cup[/mm] W(Abgeschlossenheit).
Ja.
> Es muss also
> [mm]u_0+w[/mm] in U oder in W liegen.
Ja.
>
> Wäre jetzt [mm]u_0+w\in[/mm] W, also [mm]u_0+w=w'[/mm] mit einem [mm]w#\in[/mm] W ,
> so folgte aus dieser Gleichung [mm]u_0=w'-w\in[/mm]
> W(Abgeschlossenheit wegen Unterraumeigenschaft ).
> Das ist aber nicht möglich, denn wir haben am Anfang des
> Beweises gesagt: es ist [mm]u_0 \not\in[/mm] W.
Genau.
>
> Dann bleibt nur noch die Möglichkeit [mm]u_0+w\in[/mm] U, also
> [mm]u_0+w=u'\in[/mm] U mit einem u' [mm]\in[/mm] U. Hieraus folgt:
> [mm]w=u'-u_0\in[/mm] U (Abgeschlossenheit wegen
> Unterraumeigenschaft).
>
> Damit ist gezeigt: [mm]W\subseteq[/mm] U.
Ja.
>
>
> Die eine richtigung wäre somit gezeigt.
Hm. Kannst Du mal genau sagen, von welchen beiden Richtungen Du sprichst? Also mal die Aussagen für beide Richtungen formulieren?
Da Du eine Äquivalenz beweisen sollst, ist nicht anzunehmen, daß es für den Rückweg ein Gegenbeispiel gibt.
>
>
> Ein Gegenbeispiel für die andere Richtung hat Angela ja
> schon genannt
>
> [mm]U_1:=<\vektor{1\\
0}>, U_2:=<\vektor{0\\
1}>[/mm] des [mm]\IR^2[/mm]
Das ist kein Gegenbeispiel für irgendeine Richtung gewesen.
Ich hab' Dir damit nur zeigen wollen, daß für beliebige Unterräume die Vereinigung kein Vektorraum ist,
daß also
[mm] U_1, U_2 [/mm] Untervektorräume ==> [mm] U_1\cup U_2 [/mm] Untervektorraum
falsch ist.
Daraufhin hast Du Dir Bedingungen an [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] überlegt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:45 So 05.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
die Richtung die ich jetzt gezeigt habe ist:
Wir nehmen an [mm] U\cup [/mm] W ist ein UVR daraus folgt, dass [mm] U\subseteq [/mm] W oder W [mm] \subseteq [/mm] U
Die, die mir noch fehlt ist:
U [mm] \subseteq [/mm] W oder W [mm] \subseteq [/mm] U daraus folgt [mm] U\cup [/mm] W ist ein UVR
????
Ich weiß jetzt leider nicht, wie ich die zweite zeigen soll :-S
Lg
Lg Melisa
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> Hallo,
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> die Richtung die ich jetzt gezeigt habe ist:
>
> Wir nehmen an [mm]U\cup[/mm] W ist ein UVR daraus folgt, dass
> [mm]U\subseteq[/mm] W oder W [mm]\subseteq[/mm] U
>
> Die, die mir noch fehlt ist:
>
> U [mm]\subseteq[/mm] W oder W [mm]\subseteq[/mm] U daraus folgt [mm]U\cup[/mm] W ist
> ein UVR
>
>
>
>
>
> ????
>
> Ich weiß jetzt leider nicht, wie ich die zweite zeigen
> soll :-S
Hallo,
das kann eigentlich nicht sein...
Sei [mm] U\subseteq [/mm] W.
Was ist denn dann wohl [mm] U\cup [/mm] W ?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 So 05.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
Wenn U und W UVR sind und es gilt [mm] U\subseteq [/mm] W dann folgt daraus das
[mm] U\cup [/mm] W auch ein UVR ist?????
Lg Melisa
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> Wenn U und W UVR sind und es gilt [mm]U\subseteq[/mm] W dann folgt
> daraus das
>
> [mm]U\cup[/mm] W auch ein UVR ist?????
Ja. Erstaunt Dich das? Die drei Fragezeichen deuten darauf hin.
Hast Du Dir denn überlegt, warum das so ist. (offensichtlich nicht, sonst würdest Du nicht so fragen...)
Was ist denn [mm] U\cup [/mm] W unter obigen Voraussetzungen?
Gruß v. Angela
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> Lg Melisa
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