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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Fr 14.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Sei $ [mm] G_1 [/mm] = [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 | x+y=0 \} [/mm] $ und $ [mm] G_2 [/mm] = [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 | 2x-3y=5 \} [/mm] $.
Bestimme $ [mm] G_1 \cap G_2 [/mm] $ und $ [mm] G_1 \cup G_2 [/mm] $. |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zu der Aufgabe.
Also [mm] G_1 [/mm] ung [mm] G_2 [/mm] sind ja beides Geraden, die Mengenbeschreibungen hab ich nach $y$ umgestellt.
Dann ist der Schnitt von [mm] G_1 [/mm] ung [mm] G_2 [/mm] gerade der Schnittpunkt von den beiden Geraden, wenn ich den berechne, erhalte ich $ [mm] G_1 \cap G_2 [/mm] = (1,-1) $. Stimmt das?
Bei der Vereingung weiß ich aber nicht, was ich machen soll. Wie beschreibe ich die Vereinigung von zwei Geraden?
Danke.
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Sa 15.08.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]G_1 = \{ (x,y) \in \IR^2 | x+y=0 \}[/mm] und [mm]G_2 = \{ (x,y) \in \IR^2 | 2x-3y=5 \} [/mm].
>
> Bestimme [mm]G_1 \cap G_2[/mm] und [mm]G_1 \cup G_2 [/mm].
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe eine Frage zu der Aufgabe.
>
> Also [mm]G_1[/mm] ung [mm]G_2[/mm] sind ja beides Geraden, die
> Mengenbeschreibungen hab ich nach [mm]y[/mm] umgestellt.
okay. Schulnotationsgemäß würde man also (bspw.) auch schreiben
[mm] $$G_1:\; y=-x\;\;\; [/mm] (x [mm] \in \IR)$$
[/mm]
[mm] $$G_2:\;y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\;\;\;(x \in \IR)\,.$$
[/mm]
> Dann ist der Schnitt von [mm]G_1[/mm] ung [mm]G_2[/mm] gerade der
> Schnittpunkt von den beiden Geraden, wenn ich den berechne,
> erhalte ich [mm]G_1 \cap G_2 =\red{ (1,-1)} [/mm]. Stimmt das?
Das kannst Du einfach nochmal selbst kontrollieren, indem Du guckst, ob $(1,-1) [mm] \in G_1$ [/mm] und auch $(1,-1) [mm] \in G_2$ [/mm] gilt. Denn zwei Geraden in der Ebene sind
[mm] $\bullet$ [/mm] echt parallel oder
[mm] $\bullet$ [/mm] identisch oder
[mm] $\bullet$ [/mm] schneiden sich in genau einem Punkt.
Andere Fälle können nicht auftreten. Oben ist allerdings ein Notationsmangel:
[mm] $G_1 \cap G_2$ [/mm] ist eine Menge, daher solltest Du schreiben:
[mm] $$G_1 \cap G_2=\blue{\big\{}(1,-1)\blue{\big\}}\,.$$
[/mm]
Ich hoffe, Du hast es kontrolliert und damit auch nochmal erkannt, dass Dein Schnittpunkt stimmt. Nur Deine Notation für [mm] $G_1 \cap G_2$ [/mm] war oben zu bemängeln, weil der Schnitt zweier Mengen halt wieder eine Menge ist!
> Bei der Vereingung weiß ich aber nicht, was ich machen
> soll. Wie beschreibe ich die Vereinigung von zwei Geraden?
Das ist ganz einfach:
[mm] $$G_1 \cup G_2=\big\{(x,y) \in \IR^2:\;\;x+y=0\; \text{ oder }\;2x-3y=5\big\}\,.$$
[/mm]
(Oder meinetwegen auch:
[mm] $G_1 \cup G_2=\big\{(x,y) \in \IR^2:\;\;y=-x \;\text{ oder }\;y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3};\;\;x \in \IR\big\}\,.$)
[/mm]
Wenn es Dir Spaß macht, dann kannst Du auch - mit der vorhergehenden Überlegung bzw. Berechnung von [mm] $G_1 \cap G_2$ [/mm] - schreiben:
[mm] $$G_1 \cup G_2=\big\{(x,y) \in \IR^2:\;\;x+y=0\; \text{ oder }\;2x-3y=5,\; x \in \IR \setminus\{1\}\big\} \cup \big\{(1,-1)\big\}\,.$$
[/mm]
Aber wirklich bringen würde Dir das auch nichts (man würde nur ausnutzen, dass (trivialerweise) [mm] $G_1 \cup G_2=\Big(\big(G_1 \cup G_2\big)\setminus \big(G_1 \cap G_2\big)\Big) \cup \big(G_1 \cap G_2\big)$ [/mm] ist); der einzige Sinn bestünde darin, dass man so den Schnittpunkt der beiden Geraden mit ablesen könnte.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:14 Sa 15.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> Bei der Vereingung weiß ich aber nicht, was ich machen
> soll. Wie beschreibe ich die Vereinigung von zwei Geraden?
Wenn man das ein bisschen algebraischer sieht, kann man ja sagen:
[mm] $\nu(I)\cup\nu(J)=\nu(I*J)=\nu(J\cap [/mm] J)$
Also:
[mm] $G_1\cup G_2=\nu(x+y)\cup\nu(2x-3y-5)=\nu((x+y)*(2x-3y-5))=\{(x,y)^T\in\IR^2 \vert (x+y)*(2x-3y-5)=0\}$
[/mm]
(wobei hier [mm] $\nu$ [/mm] für Varietät und I, J für Ideale steht)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Sa 15.08.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andrey,
> > Bei der Vereingung weiß ich aber nicht, was ich machen
> > soll. Wie beschreibe ich die Vereinigung von zwei Geraden?
>
> Wenn man das ein bisschen algebraischer sieht, kann man ja
> sagen:
> [mm]\nu(I)\cup\nu(J)=\nu(I*J)=\nu(J\cap J)[/mm]
> Also:
> [mm]G_1\cup G_2=\nu(x+y)\cup\nu(2x-3y-5)=\nu((x+y)*(2x-3y-5))=\{(x,y)^T\in\IR^2 \vert (x+y)*(2x-3y-5)=0\}[/mm]
>
> (wobei hier [mm]\nu[/mm] für Varietät und I, J für Ideale steht)
ja, das sieht auch gut aus (ich selber bin in Algebra nicht so bewandert, da hier leider keine Vorlesung dazu angeboten wurde, oder ich sie übersehen habe ^^).
Für Pacapear:
Auch, ohne die oben genannten Begriffe kannst Du Dir das erklären:
Es gilt ja bekanntlich für $a,b [mm] \in \IR$:
[/mm]
$$a*b=0$$
[mm] $$\gdw a=0\;\; \text{ oder }\;\;b=0,$$
[/mm]
also (durch lesen dieser Äquivalenz von rechts nach links (bzw. in meiner Notation oben: von unten nach oben) mit [mm] $a=x+y\,$ [/mm] und [mm] $b=2x-3y-5\,$)
[/mm]
$$(x,y) [mm] \in \IR^2\; \text{ erfüllt }\;x+y=0\;\text{ oder }\;2x-3y-5=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] (x,y) [mm] \in \IR^2\; \text{ erfüllt }\;(x+y)*(2x-3y-5)=0\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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