Vereinfachung kompl. Potential < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe soeben ein komplexes Potential der Form
[mm] F(z)=2\varepsilon*(ln\bruch{|z-z_{1}|}{|z-z_{2}|}+iArg\bruch{z-z_{1}}{z-z_{2}})+C
[/mm]
berechnet. Aufgrund der gegebenen Funktion
[mm] f(z)=2\varepsilon*\summe_{i=1}^{n=2}\bruch{q_{k}}{z-z_{k}}
[/mm]
q=1
[mm] P_{1}=(0,1)
[/mm]
[mm] P_{2}=(0,-1)
[/mm]
Ich bin hier davon ausgegangen, dass f(z)=P(x,y)-iQ(x,y).
bin ich auf das o.a. komplexe Potential gekommen. Mich stört hier aber [mm] ln\bruch{|z-z_{1}|}{|z-z_{2}|} [/mm] und [mm] iArg\bruch{z-z_{1}}{z-z_{2}}. [/mm] Kann man dies nicht irgendwie vereinfachen?
Ich weiß, dass [mm] ln\bruch{|z-z_{1}|}{|z-z_{2}|}=ln\bruch{|x+i(y-1)|}{|x+i(y+1)|} [/mm] und [mm] iArg\bruch{z-z_{1}}{z-z_{2}}=iArg\bruch{x+(y-1)}{x+i(y+1)}. [/mm]
Im Grunde würde dann mein Potential folgend aussehen:
[mm] F(z)=2\varepsilon*(ln\bruch{|x+i(y-1)|}{|x+i(y+1)|}+iArg\bruch{x+(y-1)}{x+i(y+1)})+C. [/mm]
Mir erscheint dies zu "unvereinfacht". Geht das einfacher auch noch?
Freue mich auf ein paar Tipps.
Gruß, h.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:15 So 28.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> ich habe soeben ein komplexes Potential der Form
>
> [mm]F(z)=2\varepsilon*(ln\bruch{|z-z_{1}|}{|z-z_{2}|}+iArg\bruch{z-z_{1}}{z-z_{2}})+C[/mm]
>
> berechnet. Aufgrund der gegebenen Funktion
>
> [mm]f(z)=2\varepsilon*\summe_{i=1}^{n=2}\bruch{q_{k}}{z-z_{k}}[/mm]
> q=1
Meinst du [mm]q_1=1[/mm] und [mm]q_2=-1[/mm]? Sonst stimmt deine Stammfunktion nicht.
> [mm]P_{1}=(0,1)[/mm]
> [mm]P_{2}=(0,-1)[/mm]
Das verstehe ich überhaupt nicht. Meinst du [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm]?
>
> Ich bin hier davon ausgegangen, dass f(z)=P(x,y)-iQ(x,y).
Soll das die komplexe Darstellung eines zweidimensionalen Strömungsproblems sein?
Die Funktion F(z) ist eine Stammfunktion von f(z), falls [mm]q_1=1[/mm] und [mm]q_2=-1[/mm].
Was du ausgerechnet hast, ist der Hauptzweig des komplexen Logarithmus, also
[mm]F(z)= 2\varepsilon\ln\bruch{z-z_1}{z-z_2} +C [/mm].
Wenn du das getrennt als Real- und Imaginärteil darstellen willst, bleibt dir nichts Anderes als
[mm] \mathop{\mathrm{Arg}} z = \arctan\bruch{\Im z}{\Re z}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank für die Antwort.
Es handelt sich hier um zwei positive Ladungen. Somit gilt für das komplexe Potential:
[mm] F(z)=\bruch{1}{2}*ln((x^{2}+(y+1)^2)*(x^2+(y-1)^2))+i(arctan(\bruch{y-1}{x})+arctan(\bruch{y+1}{x}))
[/mm]
Für das el. Feld erhalte ich dann:
[mm] \vec{E}=\vektor{\bruch{x}{x^2+(y+1)^2}+\bruch{x}{x^2+(y-1)^2}=P \\ \bruch{2y(y^2+x^2-1)}{(y^2-2y+x^2+1)(y^2+2y+x^2+1)}=Q}
[/mm]
Ich bin da folgend vorgegangen: [mm] P=U_{x} [/mm] (U(x,y) nach x abgeleitet) und [mm] Q=U_{y}. [/mm] Sollte so passen.
Nun hab der Vortragende in der Uni folgendes an die Tafel geschrieben:
Re(F(z))=const --> Äquipotentialflächen
Im(F(z))=const --> Feldlinien
Er meinte, wenn wir den Realteil von F(z) konstant setzen, erhalten wir die Äquipotentialflächen. Stimmt das? Ich hab das mal versucht zu zeichnen, ging aber daneben.
Gruß, h.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 So 28.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es handelt sich hier um zwei positive Ladungen. Somit gilt
> für das komplexe Potential:
>
> [mm]F(z)=\bruch{1}{2}*ln((x^{2}+(y+1)^2)*(x^2+(y-1)^2))+i(arctan(\bruch{y-1}{x})+arctan(\bruch{y+1}{x}))[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für das el. Feld erhalte ich dann:
>
> [mm]\vec{E}=\vektor{\bruch{x}{x^2+(y+1)^2}+\bruch{x}{x^2+(y-1)^2}=P \\ \bruch{2y(y^2+x^2-1)}{(y^2-2y+x^2+1)(y^2+2y+x^2+1)}=Q}[/mm]
>
> Ich bin da folgend vorgegangen: [mm]P=U_{x}[/mm] (U(x,y) nach x
> abgeleitet) und [mm]Q=U_{y}.[/mm] Sollte so passen.
Wenn du mit U den Realteil von F meinst, dann ja. Übrigens sind die Komponenten von [mm]\vec{E}[/mm] auch gerade Real- und Imaginärteil von
[mm]\bruch{1}{z-i} + \bruch{1}{z+i}[/mm]
> Nun hab der Vortragende in der Uni folgendes an die Tafel
> geschrieben:
>
> Re(F(z))=const --> Äquipotentialflächen
Ja, da [mm]\vec{E}[/mm] der Gradient von Re(F(z)) ist.
> Im(F(z))=const --> Feldlinien
Das folgt aus den Cauchy-Riemann-DGLen: Ist [mm]F(z)=U(x,y)+iV(x,y)[/mm], dann ist ja [mm]U_x+iU_y=V_y-iVx=-i(V_x+iV_y)[/mm]. Daran siehst du, dass der Gradient von V senkrecht auf dem Gradienten von U steht.
> Er meinte, wenn wir den Realteil von F(z) konstant setzen,
> erhalten wir die Äquipotentialflächen. Stimmt das? Ich hab
> das mal versucht zu zeichnen, ging aber daneben.
Tja, da musst du die Linien mit [mm](x^{2}+(y+1)^2)*(x^2+(y-1)^2) = \text{const}[/mm] malen, das ist etwas mühsam aufzulösen. Es gibt aber eine Reihe von Programmen, mit denen du solche implizit definierten Linien plotten kannst.
Viele Grüße
Rainer
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