Verbindungsgerade < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:48 Di 07.12.2010 | | Autor: | Schalk |
| Aufgabe | zu zwei verschiedenen p,q des [mm]\IR^2[/mm] gibt es genau eine Verbindungsgerade.
Dies soll verifiziert werden. |
Nach meinem bisherigen Kenntnisstand ist o. g. Aussage axiomatisch. Insofern weiß ich nicht, was ich machen muss... Vielleicht kann mir jemand einen Denkanstoß geben?
Danke und schöne Grüße
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> zu zwei verschiedenen p,q des [mm]\IR^2[/mm] gibt es genau eine
> Verbindungsgerade.
> Dies soll verifiziert werden.
>
> Nach meinem bisherigen Kenntnisstand ist o. g. Aussage
> axiomatisch. Insofern weiß ich nicht, was ich machen
> muss... Vielleicht kann mir jemand einen Denkanstoß
> geben?
axiomatisch? bist du dir sicher?
vl kannst du ja über einen widerspruch zur lösung gelangen.
nimm an es gibt eine zweite verbindungsgerade und dann zeige dass diese ident ist mit der ersten.
wäre eine möglichkeit.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Di 07.12.2010 | | Autor: | Schalk |
Vielleicht so?:
Seien [mm]p,q\in\IR[/mm] mit <SPAN class=math>[mm]p\neq q[/mm]. Die Gerade durch p und q lautet [mm]G_p_,_q_-_p=p+\IR*(q-p)[/mm].
Angenommen, es gibt eine zweite Gerade durch p und q und wir ersetzen die Punkte p=u und q-p=v, dann gilt [mm]G_u_,_v=u+\IR*v = p+\IR*(q-p)=G_p_,_q_-_p[/mm]. Somit ist die Verbindungsgerade eindeutig.
Habe das Gefühl, dass das so nicht richtig ist... Vielen Dank für einen Hinweis!
Vielleicht kann mir jemand auch noch einen Hinweis zur Lösung folgender Aussagen geben:
1. Zwei nicht parallele Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.
2. Die Geraden <SPAN class=math>[mm]G_u_,_a=u+\IR*a[/mm] und [mm]G_v_,_b=v+\IR*b[/mm] haben genau dann einen Schnittpunkt, wenn u-v eine Linearkombination von a,b ist.
Vielen Dank!</SPAN></SPAN>
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hallo,
wenn das Aufgaben auf einem topologischen Raum sind, dann müsstest du das etwas detaillierter beschreiben - aber meines Wissens stecken deine Fragestellungen dann teilweise tatsächlich schon in den Definitionen dieser Gebilde drin (aber ich bin kein Topologe).
Manchmal klingt dein Beitrag aber nach der typischen einfachen Schul-Vektorrechnung - und da lässt sich das mit dem einen Schnittpunkt wirklich leicht durch nachrechnen mit entsprechenden 2-dimensionalen Vektoren nachweisen (LGS, Determinanten etc.).
Für mich ist also nicht klar verständlich, was du eigentlich machen willst - vielleicht geht es anderen hier auch so  .
Gruß,
weightgainer
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:54 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
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> Vielleicht so?:
> Seien [mm]p,q\in\IR[/mm] mit <SPAN class=math>[mm]p\neq q[/mm]. Die Gerade
> durch p und q lautet [mm]G_p_,_q_-_p=p+\IR*(q-p)[/mm].
> Angenommen, es gibt eine zweite Gerade durch p und q und
> wir ersetzen die Punkte p=u und q-p=v, dann gilt
> [mm]G_u_,_v=u+\IR*v = p+\IR*(q-p)=G_p_,_q_-_p[/mm]. Somit ist die
> Verbindungsgerade eindeutig.
>
> Habe das Gefühl, dass das so nicht richtig ist... Vielen
> Dank für einen Hinweis!
>
> Vielleicht kann mir jemand auch noch einen Hinweis zur
> Lösung folgender Aussagen geben:
> 1. Zwei nicht parallele Geraden schneiden sich in genau
> einem Punkt.
Die Geraden
[mm]G_1=u+\IR*a[/mm] und [mm]G_2=v+\IR*b[/mm] seien nicht parallel. Das bedeutet: a und b sind linear unabhängig.
Stelle nun u und v als Linearkombinationen von a und b dar und zeige, dass die Gleichung
u+ta=v+sb
genau eine Lösung (t,s) hat.
> 2. Die Geraden <SPAN class=math>[mm]G_u_,_a=u+\IR*a[/mm] und
> [mm]G_v_,_b=v+\IR*b[/mm] haben genau dann einen Schnittpunkt, wenn
> u-v eine Linearkombination von a,b ist.
[mm] G_u_,_a [/mm] und [mm] G_v_,_b [/mm] haben einen Schnittpunkt [mm] \gdw [/mm] es ex. (s,t) mit
u+ta=v+sb.
Als was entpuppt sich nun u-v ???
FRED
>
> Vielen Dank!</SPAN></SPAN>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:09 Do 09.12.2010 | | Autor: | Schalk |
> >
> > Vielleicht so?:
> > Seien [mm]p,q\in\IR[/mm] mit <SPAN class=math>[mm]p\neq q[/mm]. Die
> Gerade
> > durch p und q lautet [mm]G_p_,_q_-_p=p+\IR*(q-p)[/mm].
> > Angenommen, es gibt eine zweite Gerade durch p und q
> und
> > wir ersetzen die Punkte p=u und q-p=v, dann gilt
> > [mm]G_u_,_v=u+\IR*v = p+\IR*(q-p)=G_p_,_q_-_p[/mm]. Somit ist die
> > Verbindungsgerade eindeutig.
Ist das so ok? Kann ich das als Lösung abgeben?
> >
> > Habe das Gefühl, dass das so nicht richtig ist... Vielen
> > Dank für einen Hinweis!
> >
> > Vielleicht kann mir jemand auch noch einen Hinweis zur
> > Lösung folgender Aussagen geben:
> > 1. Zwei nicht parallele Geraden schneiden sich in genau
> > einem Punkt.
>
> Die Geraden
>
>
> [mm]G_1=u+\IR*a[/mm] und [mm]G_2=v+\IR*b[/mm] seien nicht parallel. Das
> bedeutet: a und b sind linear unabhängig.
>
> Stelle nun u und v als Linearkombinationen von a und b dar
> und zeige, dass die Gleichung
>
> u+ta=v+sb
>
> genau eine Lösung (t,s) hat.
>
Sorry, stehe immer noch etwas auf dem Schlauch...
Die beiden Gerade G1 und G2 seien nicht parallel, also sind a und b linear unabhängig.
Wenn ich nun u als LKB von a und b darstelle, bdeutet das: [mm]u = \alpha*a + \beta * b[/mm] und für v bedeutet das [mm]v = \gamma*a + \delta* b[/mm], oder? Aber was bringt mir das für die Lösung?
Angenommen die beiden Geraden schneiden sich, so kann ich mit der Gleichung u+ta=v+sb die Lösung für den Schnittpunkt errechnen. Meintest Du, dass ich dann für t und s folgende Lösungen rausbekomme:
[mm]s = \bruch{u-v+ta}{b}[/mm] und [mm]t = \bruch{v-u+sb}{a}[/mm] . Irgendwie kapier ich Deine Hilfe noch nicht... Wäre ganz toll, wenn mir jemand noch einen Hinweis geben kann...
>
> > 2. Die Geraden <SPAN class=math>[mm]G_u_,_a=u+\IR*a[/mm] und
> > [mm]G_v_,_b=v+\IR*b[/mm] haben genau dann einen Schnittpunkt, wenn
> > u-v eine Linearkombination von a,b ist.
>
>
> und haben einen Schnittpunkt [mm]\gdw[/mm] es
> ex. (s,t) mit
>
> u+ta=v+sb.
>
> Als was entpuppt sich nun u-v ???
Wäre das eine Lösung(?):
=> Angenommen die Geraden [mm]G_u_,_a[/mm] und <SPAN class=math>[mm]G_v_,_b[/mm]</SPAN>
besitzen einen Schnittpunkt. Dann gilt:
<SPAN class=math>[mm]G_u;_a = u+t*a = v+s*b = G_v_,_b[/mm]. Weiter lässt sich rechnen:
u-v+ta=sb
u-v = sb - ta</SPAN>
Somit ist u-v eine Linearkombination von a und b.
<= Sei nun umgekehrt u-v eine LKB von a und b: u-v = ta + sb, so lässt sich umrechnen:
u-v-ta=sb
u-ta = v+sb, da -ta nur die Richtung des Richtungsvektors verändert kann man auch von u+ta ausgehen, somit ergibt sich:
[mm]G_u;_a = u+t*a = v+s*b = G_v_,_b[/mm]
Ist das so korrekt?
>
> FRED
> >
> > Vielen Dank!</SPAN></SPAN>
> >
>
Ganz lieben Dank für Deine Hilfe!!!
Schöne Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 11.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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