Veranschaulichung Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe eine ähnliche Frage zwar schonmal in einem anderen Thread gestellt (hier: 1), wusste aber nicht bei welcher Mitteilung / Antwort ich auf reagieren klicken sollte, deswegen öffne ich dafür eine neue Frage.
Es geht um Folgendes: Mittlerweile habe ich bei der linearen Substitution schon viele Veranschauungs-Möglichkeiten angesehen. Dass zum Beispiel beim folgenden Integral
[mm] \integral_{0}^{\pi}{2*\sin(x) dx} [/mm] = [mm] 2*\integral_{0}^{\pi}{\sin(x) dx}
[/mm]
gilt, kann man sowohl analytisch als auch graphisch sehr leicht zeigen. Nun dachte ich, dass man eine ähnlich einfache Anschaulichkeit auch mit der x-Achse erreichen könnte (ungefähr auf dieselbe Weise), sodass man dann die Substitution
[mm] \integral_{0}^{2*\pi}{\sin\left(\bruch{1}{2}*x\right) dx} [/mm] = [mm] 2*\integral_{0}^{\pi}{\sin(x) dx}
[/mm]
sehr hübsch zeigen könnte. Bisher ist mir noch keine gute Idee gekommen. Hat jemand vielleicht eine?
Vielen Dank für Eure Hilfe
Stefan
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> Hallo!
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> Ich habe eine ähnliche Frage zwar schonmal in einem anderen
> Thread gestellt (hier:
> 1), wusste aber nicht bei
> welcher Mitteilung / Antwort ich auf reagieren klicken
> sollte, deswegen öffne ich dafür eine neue Frage.
> Es geht um Folgendes: Mittlerweile habe ich bei der
> linearen Substitution schon viele
> Veranschauungs-Möglichkeiten angesehen. Dass zum Beispiel
> beim folgenden Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{2*\sin(x) dx}[/mm] =
> [mm]2*\integral_{0}^{\pi}{\sin(x) dx}[/mm]
>
> gilt, kann man sowohl analytisch als auch graphisch sehr
> leicht zeigen. Nun dachte ich, dass man eine ähnlich
> einfache Anschaulichkeit auch mit der x-Achse erreichen
> könnte (ungefähr auf dieselbe Weise), sodass man dann die
> Substitution
>
> [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{\sin\left(\bruch{1}{2}*x\right) dx} = \integral_{0}^{\pi}{2 \sin(x) dx}[/mm]
>
> sehr hübsch zeigen könnte. Bisher ist mir noch keine gute
> Idee gekommen. Hat jemand vielleicht eine?
Wenn Du ein Flächenstück in x-Richtung um dem Faktor [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] stauchst und in y-Richtung um den Faktor $2$ streckst, dann erhältst Du ein Flächenstück mit demselben Inhalt. So lässt sich jedenfalls die Äquivalenz der obigen Integrale interpretieren.
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Danke für deine schnelle Antwort.
Ich habe eben nur folgendes Problem:
Das ein Graph in y-Richtung um 2 gestaucht dann auch die doppelte Fläche ergibt, kann man analytisch folgendermaßen zeigen:
[mm] \integral_{a}^{b}{2*f(x) dx} [/mm] = [mm] 2*\integral_{a}^{b}{f(x) dx}.
[/mm]
Das geht aufgrund der Integrationsregeln ganz einfach. Außerdem könnte man es genausogut zeigen, indem man sich anschaut, dass jedes unter die Funktion gelegte Flächenstück dann die doppelte Höhe erhält und somit auch die Fläche sich verdoppelt.
Ich weiß, dass man das in x-Richtung analytisch mit der Substitution zeigen kann, nur würde ich es gerne anschaulich zeigen (also z.B. mit Treppenfunktionen). Wie kann man das einfach machen? Hier ein Bild, das meine Frage vielleicht verdeutlicht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich möchte gern anschaulich und trotzdem mathematisch logisch und mit Zahlen zeigen, dass die Fläche unter dem normalen Sinus halb so groß ist wie die Fläche unter dem um in x-Richtung um 2 gestauchten Sinus.
Vielen Dank für eure Mühe
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Do 03.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Danke für deine schnelle Antwort.
> Ich habe eben nur folgendes Problem:
> Das ein Graph in y-Richtung um 2 gestaucht dann auch die
> doppelte Fläche ergibt, kann man analytisch folgendermaßen
> zeigen:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{2*f(x) dx}[/mm] = [mm]2*\integral_{a}^{b}{f(x) dx}.[/mm]
>
> Das geht aufgrund der Integrationsregeln ganz einfach.
> Außerdem könnte man es genausogut zeigen, indem man sich
> anschaut, dass jedes unter die Funktion gelegte
> Flächenstück dann die doppelte Höhe erhält und somit auch
> die Fläche sich verdoppelt.
>
> Ich weiß, dass man das in x-Richtung analytisch mit der
> Substitution zeigen kann, nur würde ich es gerne
> anschaulich zeigen (also z.B. mit Treppenfunktionen).
naja, wenn man es mit Treppenfunktionen macht:
Ich glaube, da kannst Du sicher leicht nachrechnen, dass das Stauchen entlang der $x$-Achse um einen Faktor [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] und das Strecken entlang der $y$-Achse um den Faktor $2$ bei einer Treppenfunktion dann das gleiche Integral ergibt. Das liegt im Wesentlichen ja an dem Rechtecksinhalt, und [mm] $a*b=\frac{1}{2}a*(2b)$ [/mm] besagt dann ja, dass eben ein Rechteck seinen Flächeninhalt nicht verändert, wenn man die eine Seitenlänge halbiert und die andere verdoppelt.
Also:
Ist $T$ eine Treppenfunktion, so folgt
[mm] $\int_a^b T(x)dx=\frac{1}{2}*\int_{2a}^{2b} [/mm] T(y/2)dy$
Edit: Bemerkung: Nach etlichen Korrekturen bin ich nun sicher, dass die Formel endlich stimmt. Sorry, war etwas verwirrt!
Und wenn Du nun eine Treppenfunktion für die Ausgangsfunktion hast, die diese für den Flächeninhalt genügend gut approximiert, so betrachtest Du dann eben für die Funktion, die entlang der $x$-Achse mit dem Faktor [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] gestaucht ist und entlang der $y$-Achse mit dem Faktor $2$ gestreckt ist, eben analog die Treppenfunktion, die sich aus der bereits vorhandenen Treppenfunktion ergibt, wenn man sie entlang der $x$-Achse mit dem Faktor $1/2$ staucht und entlang der $y$-Achse mit dem Fakotr $2$ streckt.
Ich denke, das sollte funktionieren, ist jedenfalls einer Überlegung Wert. Was anderes ist es natürlich, wenn Du z.B. sowas [mm] $f(x)=2x*\sin(x^2)$ [/mm] jetzt integrierst, dann hat man nicht mehr diese schönen linearen Faktoren, weil man dort ja [mm] $u(x)=x^2$ [/mm] substituieren würde...
Aber wenn Du nur $u(x)=m*x$ mit einer konstanten $m$ hast, sollte man das leicht mittels der approximierenden Treppenfunktionen begründen, dass man für die "verzerrte" Funktion auch nur die "Treppenfunktion" genauso "verzerren" muss. Und wenn man dann eine Folge von Treppenfunktion für die "verzerrte Funktionen" hat, so dass sich mit denen das Integral durch Grenzwertbildung berechnen läßt, erhält man durch "Rückverzerren" eine Folge von Treppenfunktionen für das Ausgangsintegral (normalerweise substituiert man ja erst, weil man mit dem substituierten Integral ja das Ausgangsintergral berechnen will).
Also der Grundgedanke sollte, denke ich, sein:
Was passiert bei der Substitution mit Treppenfunktionen (und inwiefern ändert sich die "Genauigkeit der Approximation des Integrals mit den Treppenfunktionen").
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank, das werde ich probieren. (Und es wird sicher aus klappen  )
Stefan
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