Veranschaulichung Hyperbolicus < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Do 30.10.2008 | | Autor: | Laserua |
Hallo,
wir haben an der Uni die Veranschaulichung der hyberbolischen Funktionen und der Umkehrfunktionen gehabt. Leider habe ich dies nicht so ganz verstanden.
Bei Wikipedia findet man dieses Bild, dass die Veranschaulichung deutlich machen soll:
![[]](/images/popup.gif) Bild
Ich verstehe aber nun nicht, warum die Funktion [mm] x^2-y^2=1 [/mm] so gezeichnet werden kann. Eigentlich kann einem x-Wert bei einer Funktion doch immer nur ein y-Wert zugeordnet werden, oder? Aber zeichnet man die Funktion so, dann werden den x-Werten ja teilweiße zwei y-Werte zugeordnet.
Außerdem ist es mir unklar, wie man die Umkehrfunktionen arsinh(y) und arcosh(y) bildlich veranschaulichen kann.
Und ist es egal, ob man jetzt z.B. arsinh(y) oder arsinh(x) schreibt?
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir vielleicht jemand helfen könnte.
Vielen Dank schon mal im vorraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Do 30.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> wir haben an der Uni die Veranschaulichung der
> hyberbolischen Funktionen und der Umkehrfunktionen gehabt.
> Leider habe ich dies nicht so ganz verstanden.
>
>
> Bei Wikipedia findet man dieses Bild, dass die
> Veranschaulichung deutlich machen soll:
>
> Bild
>
> Ich verstehe aber nun nicht, warum die Funktion [mm]x^2-y^2=1[/mm]
> so gezeichnet werden kann. Eigentlich kann einem x-Wert bei
> einer Funktion doch immer nur ein y-Wert zugeordnet werden,
> oder? Aber zeichnet man die Funktion so, dann werden den
> x-Werten ja teilweiße zwei y-Werte zugeordnet.
[mm] x^2-y^2=1 [/mm] ist keine Funktion sondern eine Gleichung. Was du im Bild siehst, ist die Menge aller Punkte (x,y) die diese Gleichung erfüllen, also eine Hyperbel.
>
> Außerdem ist es mir unklar, wie man die Umkehrfunktionen
> arsinh(y) und arcosh(y) bildlich veranschaulichen kann.
>
> Und ist es egal, ob man jetzt z.B. arsinh(y) oder arsinh(x)
> schreibt?
ja
FRED
>
>
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir vielleicht jemand
> helfen könnte.
> Vielen Dank schon mal im vorraus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Do 30.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
x²+y²=1 ist ja auch keine Funktion, aber dennoch kann man sich zeichnen (Einheitskreis um M(0|0)). Solche Gleichungen nennt man Relationen. Funktionen sind nur eine bestimmte Art von Relationen.
Und Umkehrfunktionen kannst du dir veranschaulichen, indem du z.B. den Graf von f(x)=sinh(x) an der Geraden y=x spiegelst (einfach ein paar Punkte spiegeln und sie verbinden). Oder aber du stellst eine Wertetabelle auf.
Bei der Funktion f(x)=cosh(x) kannst du allerdings nur eine Hälfte spiegeln. Für [mm] f^{-1}(x)=arcosh(x) [/mm] wird die rechte Seite des Grafen an y=x gespiegelt.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Do 30.10.2008 | | Autor: | Laserua |
Vielen Dank für eure Antworten =)! Das hat mir wirklich schon sehr weitergeholfen!
Dennoch sind mir noch ein par Dinge unklar.
- Wenn ich eine Fläche a habe, dann wird mit cosh(a) und sinh(a) ein Punkt auf der Hyperbel bestimmt. Wie muss ich dann aber die Fläche a bei der Hyperbel einzeichnen? Das ist mir noch etwas unklar.
- Wie kann ich mir das mit der Fläche a bei den Umkehrfunktionen vorstellen?
- Okay, es ist egal, ob ich jetzt arsinh(y) oder arsinh(x) schreibe. Wenn ich arsinh(y) schreibe, rechne ich dann quasi den x-Wert aus und wenn ich arsinh(x) schreibe, rechne ich den y-Wert aus?
Habe ich das richtig verstanden? Falls ja, warum ist es möglich, beides zu schreiben?
Entschuldigung für die vielen Fragen, aber will das ganze jetzt endlich mal verstehen ;).
Dankeschön nochmals!
|
|
|
| |
|
Hallo Laserua
> - Wenn ich eine Fläche a habe, dann wird mit cosh(a) und
> sinh(a) ein Punkt auf der Hyperbel bestimmt. Wie muss ich
> dann aber die Fläche a bei der Hyperbel einzeichnen? Das
> ist mir noch etwas unklar.
Die Figur soll nur den Zusammenhang zwischen einer
(hier positiven) Zahl a und den Werten sinh(a)=y und
cosh(a)=x geometrisch darstellen. Etwas gewöhnungs-
bedürftig ist dabei, dass a einem Flächeninhalt
entspricht, während x und y als Streckenlängen
erscheinen.
(x und y sind die Koordinaten eines Punktes der
Hyperbel mit der Gleichung [mm] x^2-y^2=1)
[/mm]
> - Wie kann ich mir das mit der Fläche a bei den
> Umkehrfunktionen vorstellen?
Wenn z.B. arsinh(2) gesucht ist, müsste man auf
der Hyperbel im 1.Quadranten den Punkt P(.../y)
mit y=2 markieren, dann das entsprechende
hellblaue Gebiet zeichnen. Dessen Inhalt in
Flächeneinheiten ist dann gleich arsinh(y).
Ist arcosh(3) gesucht, markiert man den Punkt
Q(3/...) mit y>0 und zeichnet wieder das entsprechende
blaue Gebiet. Dessen Flächeninhalt entspricht
dann arcosh(x).
Nebenbei: normalerweise benützt kaum jemand mehr
diese geometrischen Deutungen beim Anwenden von
sinh, cosh, arsinh und arcosh !!
> - Okay, es ist egal, ob ich jetzt arsinh(y) oder arsinh(x)
> schreibe. Wenn ich arsinh(y) schreibe, rechne ich dann
> quasi den x-Wert aus und wenn ich arsinh(x) schreibe,
> rechne ich den y-Wert aus?
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") das scheint mir jetzt zu schwammig
du kannst aber z.B. sagen:
x=arsinh(y) ist gleichbedeutend mit y=sinh(x)
wenn z=arcosh(t), dann ist t=cosh(z)
Die Bezeichnungen x, y, a, die wir hier benützt haben,
beziehen sich auf die konkrete Situation der Figur mit
der Hyperbel im x-y-Koordinatensystem.
Davon losgelöst sind aber sinh, cosh, arsinh, arcosh
einfach Funktionen, die man im Prinzip mit beliebigen
Variablen schreiben kann. So sieht man den Graphen
von
y=sinh(x), y=cosh(x), y=sinh(x), y=cosh(x)
(in der üblichen x-y-Schreibweise) die Verwandtschaft
mit der Figur der hiesigen Betrachtung auch nicht
mehr an.
Schönen Abend !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Do 30.10.2008 | | Autor: | Laserua |
Hallo,
vielen Dank für deinen Beitrag =)!
Ich habe jetzt alles verstanden :D.
Ebenfalls einen schönen Abend!
|
|
|
|
![[]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Hyperbolic_functions.svg/296px-Hyperbolic_functions.svg.png){kind=small}
Bild