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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:19 Mi 27.11.2013 | | Autor: | Vidane |
| Aufgabe | Sei [mm] f_{p,\alpha }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ,\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1-\left( \left| x\right| ^{p}+\left| y\right| ^{p}\right) ^{1/p}\right) ^{\alpha },\left( \left| x\right| ^{p}+\left| y\right| ^{p}\right) ^{1/p}\leq [/mm] 1
mit p=1,2 und [mm] \alpha \in [0,\infty [/mm] )
Bestimmen Sie [mm] \int _{\mathbb{R} ^{2}}f_{p,\alpha }\left( x,y\right) d\lambda ^{2}\left( x,y\right) [/mm] |
Hey Leute :)
Ich bräuchte da eure Hilfe bei dieser Aufgabe.
Für p=2 habe ich das Ergebnis bereits. Dies fand ich nicht so schwer, da ich dort ein bestimmtes Schema befolgen konnte, eben mit der Transformationsformel nach Jacobi, und dann umwandeln in Polarkoordinaten.
Da habe ich dann das Ergebnis [mm] \dfrac {2\pi }{\left( \alpha +1\right) \left( \alpha +2\right) } [/mm] .
Darum geht es auch hier weniger. Und zwar habe ich mit p=1 ein Problem.
Ich weiß einfach nicht, wie ich das Integral
[mm] \int _{\mathbb{R} }f_{1,\alpha }\left( x,y\right) d\lambda ^{2}\left( x,y\right) =\int \left( 1-\left| x\right| -\left| y\right| \right) ^{\alpha }d\lambda ^{2\cdot }\left( x,y\right) [/mm]
berechnen, geschweige denn Umformen kann.
Gibts da auch eine Transformation wie im Fall p=2?
Vielen Dank und mit freundlichen Grüßen,
Vidane.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:04 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Soll hier wirklich über [mm] \IR^2 [/mm] integriert werde ?
Oder über [mm] K_p:=\{(x,y) \in \IR^2: \left( \left| x\right| ^{p}+\left| y\right| ^{p}\right) ^{1/p}\leq 1\} [/mm] ?
Wenn über [mm] K_p, [/mm] so mach Dir mal ein Bild von [mm] K_1.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Do 28.11.2013 | | Autor: | Vidane |
Hey Fred :)
Danke für deine Antwort.
Also hmm ja, so steht es zumindest in der Aufgabenstellung.
Aber vielleicht wollen die Aufgabensteller, dass wir selber noch den $ [mm] \IR^2 [/mm] $ auf die K-Menge von dir einschränken.
Also [mm] K_{1} [/mm] ist einfach so ein ein gedrehtes Quadrat (sodass es wie eine Raute aussieht) um den Ursprung. Das hatte ich mir schonmal aufgezeichnet, hat mir aber erstmal nicht so weitergeholfen.
Über einen weiteren Tipp wäre ich dankbar. (Es fällt mir noch i.A. recht schwer, solche Integrale aufzulösen)
MfG,
Vidane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Do 28.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hey Fred :)
>
> Danke für deine Antwort.
> Also hmm ja, so steht es zumindest in der
> Aufgabenstellung.
> Aber vielleicht wollen die Aufgabensteller, dass wir selber
> noch den [mm]\IR^2[/mm] auf die K-Menge von dir einschränken.
>
> Also [mm]K_{1}[/mm] ist einfach so ein ein gedrehtes Quadrat (sodass
> es wie eine Raute aussieht) um den Ursprung. Das hatte ich
> mir schonmal aufgezeichnet, hat mir aber erstmal nicht so
> weitergeholfen.
Mach Dir Klar, dass gilt:
[mm] $\integral_{K_1}^{}{(1-|x|-|y|)^{\alpha} d \lambda^2(x,y)}=4*\integral_{\Delta}^{}{(1-x-y)^{\alpha} d \lambda^2(x,y)}$,
[/mm]
wobei [mm] \Delta=\{(x,y) \in \IR^2: y \le 1-x, 0 \le x \le 1\}.
[/mm]
Nun bemühe Herrn Fubini.
FRED
>
> Über einen weiteren Tipp wäre ich dankbar. (Es fällt mir
> noch i.A. recht schwer, solche Integrale aufzulösen)
>
> MfG,
> Vidane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Do 28.11.2013 | | Autor: | Vidane |
Ah super, vielen Dank, habs verstanden.
Die Rechnung war ja dann recht einfach.
[mm] 4\int ^{1}_{0}\int ^{1-x}_{0}\left( 1-x-y\right) ^{\alpha }dydx=\dfrac {4}{\left( \alpha +1\right) }\dfrac {}{\left( \alpha +2\right) }
[/mm]
Hab ich dann als Ergebnis.
Vielen Dank nochmals.
MfG,
Vidane
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