Verallgem. Cauchy-Schwarz? < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien $X,Y$ Zufallsvariablen mit $E[X] = E[Y] = 0$ und [mm] $\|X\|_p [/mm] := [mm] \Big(E[X^p]\Big)^{1/p}$. [/mm] Gilt
[mm] $\|XY [/mm] - [mm] E[XY]\|_p \le C\cdot \|X^2 [/mm] - [mm] E[X^2]\|_p^{1/2}\cdot \|Y^2 [/mm] - [mm] E[Y^2]\|_p^{1/2}$
[/mm]
mit einer von $X,Y$ unabhängigen Konstante $C$? |
Hallo!
Für eine Abschätzung bräuchte ich eine Ungleichung der obigen Form. Weiß jemand von euch, ob so etwas gilt?
Ich habe es im Fall $p = 2$ mit $(X,Y)$ gemeinsam normalverteilt durchgerechnet und da funktioniert es.
Es ist ja immerhin so, dass [mm] $N_p(X) [/mm] := [mm] \|X [/mm] - [mm] E[X]\|_p$ [/mm] wieder eine Norm ist. Mit dieser Definition würde die obige Ungleichung
[mm] $N_p(XY) \le N_p(X^2)^{1/2}\cdot N_p(Y^2)^{1/2}$
[/mm]
lauten, d.h. so eine Art verallgemeinerte Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Das Problem ist eben nur, dass ich meine Norm (linke Seite) nicht durch ein Skalarprodukt erzeugen kann.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 08.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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