Verallg. Mittelwertsatz < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 So 20.04.2008 | | Autor: | DaniTwal |
| Aufgabe | | Beweisen Sie den Mittelwertsatz und erklären Sie ihn anhand eines anschaulichen Beispiels. |
Hallo allerseits !
Ich verstehe den Satz ja praktisch, aber ich sitze hier verzweifelt vor dem Beweis und verstehe gar nichts. Die Hilfsfunktion lautet im Buch:
h(x)= g(x)*(f(b)-f(a))-f(x)*(g(a)-g(b))
Wie kommt man darauf ? Ich kann es nicht nachvollziehen.
Danke im Vorraus, danitwal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 So 20.04.2008 | | Autor: | DaniTwal |
kann mir keiner helfen bitte ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 So 20.04.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung) besagt, dass für eine in einem Intervall differenzierbare Fuktion die Ableitung an mindestens
einem Punkt im Inneren des Intervalls mit der Steigung der Sekanten übereinstimmen muss.
Zeichnerisch ist das ganz offensichtlich, zeichne eine in Intervall [a;b] differenzierbare Funktion und trage die Sekante durch die Randpunkte
(a;f(a)) und (b;f(b)) ein, dann siehst du, dass für ein x aus [a;b] die Tangente an den Funktionsgraphen zur Sekante parallel ist.
Wie beweist man das? Eine Möglichkeit ist, den Satz von Rolle zu Hilfe
zu nehmen:
"Für jede im Intervall [a;b] differenzierbare Funktion mit f(a) = f(b)
existiert ein Wert x aus dem Inneren von [a;b] mit f'(x)=0".
Für den Mittelwertsatz betrachtest du die Funktion: [mm] F(x)=f(x)-\frac{f(b-b(a)}{b-a}(x-a) [/mm] Die ist in [a;b] stetig und in
]a;b[ differenzierbar mit der Ableitung: [mm] F'(x)=f'x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. [/mm]
Außerdem gilt F(a)=f(a)=F(b). Aus dem Satz von Rolle folgt somit die Existenz einer Stelle x aus ]a;b[ mit F'(x)=0. Für diesen Wert x gilt die Behauptung des Mittelwertsatzes.
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