Verallg. Cauchy Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Do 25.12.2008 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe 1 | Berechne den Wert der folgenden Kurvenintegrale
(a) [mm] \int_{|z|=4}{\bruch{ze^{iz}}{(z-\pi)^3}dz}
[/mm]
(b) [mm] \int_{|z-2|=3}{\bruch{e^{icosz}sin(z^4+1)-z}{(z-7)^3}dz} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Berechne den Wert von
[mm] \int_{|z|=2}{\bruch{e^{2z}}{(z+1)^4}dz} [/mm] |
Hallo liebes Matheraumteam! Frohe Weihnachten ersteinmal.
Folgendes Problem habe ich: Die Aufgabe 2 haben wir in der Uni gerechnet mit der verallgemeinerten Cauchyschen Integralformel:
[mm] f^{(n)}(z_0)=\bruch{n!}{2\pi i}\int_{\parial D}{\bruch{f(z_0)}{(z-z_0)^{n+1}}dz}
[/mm]
Dann ist [mm] f(z)=e^{2z} [/mm] und [mm] z_0=-1
[/mm]
f(z) ist holomorph auf [mm] \IC [/mm] also auch auf [mm] \{z\in\IC, |z|<2\}=D(0,2) [/mm] und [mm] -1\in [/mm] D(0,2)
Dann haben wir die ersten drei Ableitungen von f berechnet und in die verallgemeinerte Cauchysche Integralformel eingesetzt. Das Ergebnis ist [mm] \bruch{8}{3}e^{-2}\pi*i
[/mm]
OK, soweit verstanden...dachte ich zumindest, bis ich mich mit der 1a beschäftigt habe.
Da habe ich nämlich erst gemerkt, dass die Kurve, über die man integriert, ja gar nicht direkt in die Rechnung mit eingeht! Ist das richtig?
Ich habe jetzt bei der 1a einfach gesagt:
[mm] f(z)=ze^{iz}, z_0=\pi
[/mm]
f ist Verknüfung holomorpher Funktionen, also ist f holomorph, insbesondere auf D(0,4) und da [mm] \pi \in [/mm] D(0,4) kann ich das Integral berechnen (als Ergebnis habe ich [mm] \pi*i(2-\pi)e^{i\pi} [/mm] raus). Ist das soweit richtig??
Kommen wir nun zu der 1b :
|z-2|=3 heißt ja, dass wir einen Kreis um 2 mit Radius 3 haben. Aber [mm] z_0=7 [/mm] liegt ja nicht in D(2,3), heißt das, dass die Aufgabe nicht geht und das Integral 0 ist?
Ich hoffe, ich habe mein Problem verständlich geschildert...
LG, cauchy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Do 25.12.2008 | | Autor: | zetamy |
> Berechne den Wert der folgenden Kurvenintegrale
>
> (a) [mm]\int_{|z|=4}{\bruch{ze^{iz}}{(z-\pi)^3}dz}[/mm]
>
> (b)
> [mm]\int_{|z-2|=3}{\bruch{e^{icosz}sin(z^4+1)-z}{(z-7)^3}dz}[/mm]
> Berechne den Wert von
>
> [mm]\int_{|z|=2}{\bruch{e^{2z}}{(z+1)^4}dz}[/mm]
> Hallo liebes Matheraumteam! Frohe Weihnachten ersteinmal.
>
> Folgendes Problem habe ich: Die Aufgabe 2 haben wir in der
> Uni gerechnet mit der verallgemeinerten Cauchyschen
> Integralformel:
>
> [mm]f^{(n)}(z_0)=\bruch{n!}{2\pi i}\int_{\parial D}{\bruch{f(z_0)}{(z-z_0)^{n+1}}dz}[/mm]
[mm] $f^{(n)}(z_0)=\bruch{n!}{2\pi i}\int_{\parial D}{\bruch{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz}$ [/mm]
>
> Dann ist [mm]f(z)=e^{2z}[/mm] und [mm]z_0=-1[/mm]
>
> f(z) ist holomorph auf [mm]\IC[/mm] also auch auf [mm]\{z\in\IC, |z|<2\}=D(0,2)[/mm]
> und [mm]-1\in[/mm] D(0,2)
>
> Dann haben wir die ersten drei Ableitungen von f berechnet
> und in die verallgemeinerte Cauchysche Integralformel
> eingesetzt. Das Ergebnis ist [mm]\bruch{8}{3}e^{-2}\pi*i[/mm]
>
> OK, soweit verstanden...dachte ich zumindest, bis ich mich
> mit der 1a beschäftigt habe.
>
> Da habe ich nämlich erst gemerkt, dass die Kurve, über die
> man integriert, ja gar nicht direkt in die Rechnung mit
> eingeht! Ist das richtig?
Richtig. Das ist eine Aussagen der Cauchyschen Integralformel! Für jedes Gebiet, das [mm] $z_0$ [/mm] enthält und von der Kurve eigeschlossen wird (also zB für [mm] $z_0\in [/mm] D(0,r)$ bei Integration über $S(0,r)$), hat das Integral [mm] $\int_{\parial D}{\bruch{f(z)}{(z-z_0)}dz}$ [/mm] den gleichen Wert. Das gilt auch für die Cauchysche Integralformel für Ableitungen, wie du sie hier benutzt.
>
> Ich habe jetzt bei der 1a einfach gesagt:
> [mm]f(z)=ze^{iz}, z_0=\pi[/mm]
> f ist Verknüfung holomorpher
> Funktionen, also ist f holomorph, insbesondere auf D(0,4)
> und da [mm]\pi \in[/mm] D(0,4) kann ich das Integral berechnen (als
> Ergebnis habe ich [mm]\pi*i(2-\pi)e^{i\pi}[/mm] raus). Ist das
> soweit richtig??
Fast, ich habe [mm] $i\pi\cdot(2i-z)\cdot e^{i\pi}$ [/mm] raus, wobei du das mit der Eulerschen Identität [mm] $e^{x+iy}=e^x\cdot (\cos(y)+i\sin(y))$ [/mm] noch vereinfachen kannst.
>
> Kommen wir nun zu der 1b :
>
> |z-2|=3 heißt ja, dass wir einen Kreis um 2 mit Radius 3
> haben. Aber [mm]z_0=7[/mm] liegt ja nicht in D(2,3), heißt das, dass
> die Aufgabe nicht geht und das Integral 0 ist?
Nach dem Cauchyschen Integralsatz gilt für f holomorphe Funktion auf einem Gebiet (zB wieder $D(0,r)$): [mm] $\int_{S(0,r)} [/mm] f(z)dz = 0$. Ist [mm] $z_0$ [/mm] nicht im Gebiet enthalten (also [mm] $z_0\not\in [/mm] D(0,r)$), ist auch [mm] $\frac{f(z)}{z-z_0}$ [/mm] holomorph im Gebiet, also [mm] $\int_{S(0,r)} \frac{f(z)}{z-z_0}dz [/mm] = 0$.
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> Ich hoffe, ich habe mein Problem verständlich
> geschildert...
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> LG, cauchy
Gruß, zetamy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Fr 09.01.2009 | | Autor: | cauchy |
Vielen Dank!!
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