Venndiagramm mit 4 Menge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Do 01.11.2012 | | Autor: | HelpMan |
| Aufgabe | | Zeige, dass es nicht Möglich ist durch ein Venndiagramm mit 4 Kreisen alle 16 Möglichkeiten darzustellen, die bei vier Mengen vorkommen können. |
Meine Lösungsidee ist durch Widerspruch zu zeigen, dass es nicht möglich ist diese Darstellung zu erzeugen über den Radius zum Beispiel.
Bisherige Formulierung:
Ein Kreis im reelen Raum ist über den Mittelpunkt [mm] M(x_m [/mm] / [mm] y_m) [/mm] und den Radius r definiert.
Ein Punkt P (x/y) befindet sich im Kreis, wenn [mm] (x_m-x)^2 [/mm] + [mm] (y_m [/mm] - [mm] y)^2 \le r_1^2 [/mm] ...
Alle Punkte, die sich im Kreis befinden, ergeben sich daher als die Punktmenge [mm] M_n [/mm] = {x, y [mm] \in \IR [/mm] | [mm] (x_{mn}-x)^2 [/mm] + [mm] (y_{mn} [/mm] - [mm] y)^2 \le r_n^2}
[/mm]
[mm] M_1 [/mm] , [mm] M_2 [/mm] , [mm] M_3 [/mm] , [mm] M_4 [/mm] bezeichnen die 4 Mengen.
[mm] M_1 [/mm] = {x, y [mm] \in \IR [/mm] | [mm] (x_{m1}-x)^2 [/mm] + [mm] (y_{m2} [/mm] - [mm] y)^2 \le r_3^2}
[/mm]
...
[mm] M_4 [/mm] = {x, y [mm] \in \IR [/mm] | [mm] (x_{m4}-x)^2 [/mm] + [mm] (y_{m4} [/mm] - [mm] y)^2 \le r_4^2}
[/mm]
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Jede Menge [mm] M_1 [/mm] bis [mm] M_4 [/mm] muss mit jeder Menge eine Nichtleere-Menge beim Schnitt ergeben. Daher...
[mm] (M_1 \cap M_2) \cup (M_1 \cap M_3) \cup (M_1 \cap M_4) \cup (M_2 \cap M_3) \cup (M_2 \cap M_4 [/mm] ) [mm] \cup (M_3 \cap M_4) [/mm] geht nur wenn mindestens ein Kreis Vollständig in einem anderen liegt, bzw. eine Menge echte Teilmenge von einer anderen ist.
Wenn eine Menge echte Teilmenge von einer anderen ist, hat sie keine eigenen Punkte, welche Menge dann ja jedenfalls fehlt als eigenständige Möglichkeit.
Jetzt habe ich die Schwierigkeit, die Mengen zusammen zu fassen um dann überhaupt soweit zu kommen damit man es sieht.
Wahrscheinlich gibt es noch eine einfachere Mögichkeit...
aber ich muss doch einen Bezug zwischen der Geometrie und der Bildung der Mengenmöglichkeit herstellen oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Fr 02.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
weisst du denn was die 16 möglichkeiten sind?
dein Satz : "Jede Menge $ [mm] M_1 [/mm] $ bis $ [mm] M_4 [/mm] $ muss mit jeder Menge eine Nichtleere-Menge beim Schnitt ergeben." scheint du siehst nur spezielle Mengen an,
natürlich können alle 4 mengen keinen punkt gemeinsam haben, oder alle 4 könnten die gleiche menge sein, oder alle ineinander liegen usw.
vielleicht fängst du mal an die 16 zu überlegen und jeweils aufzumalen. steht da es müssen 3 verschiedene kreise sein, oder konnen 2, 3 oder alle auch derselbe sein?
allerdings Mi =leere menge ist wohl schwer mit Kreisen zu zeichnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Fr 02.11.2012 | | Autor: | HelpMan |
Weiß schon denke ich was die verschiedenen Möglichkeiten sind.
Sind halt alle Schnittmengenkombinationen mit den 4 Mengen.
Wenn ich mir das so aufzeichne, dann fehlen immer 2 Möglichkeiten.
Wenn die Mittelpunkte ein Quadrat bilden und die Radien gleichgroß sind... fehlen die Schnittmengen der Gegenüberliegenden Kreise.
Erhöhe ich nun den Radius eines Kreises so, dass sie sich doch schneiden. Verschwindet eine andere Möglichkeit.
Über die Kreise wird nichts weiter ausgesagt, ob die gleichgroß sind oder den selben Mittelpunkt haben. Die Frage, war nur ob es mit 4 Kreisen möglich ist die 16 Schnittmengen darzustellen. bzw. 15, wenn man die Leere Menge ausschließt.
Mir fällt iwie find ich keinen Ansatz.
Vielleicht gibt es noch einen Tipp?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Fr 02.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Ich sehe keine "geniale" Lösung. Das will wenig sagen, mein Studium ist schon lange her. Ich würde es konstruktiv angehen, wobei am Ende die Unmöglichkeit herauskommt:
Mittelpunkt und Radius des ersten Kreises kann man frei wählen [mm] ($r_1 \ne [/mm] 0$ natürlich). Nun wird der zweite Kreis eingebracht, damit es eine Schnittmenge gibt, muss der [mm] $r_2$ [/mm] größer als der Abstand der Mittelpunkte minus [mm] $r_1$ [/mm] sein. Zu groß darf [mm] $r_2$ [/mm] auch nicht werden, schlecht ist es auch, wenn [mm] $K_2$ [/mm] ganz in [mm] $K_1$ [/mm] liegt. Es sollen ja [mm] $K_1 \backslash K_2$, $K_2 \backslash K_1$ [/mm] und [mm] $K_1 \cap K_2$ [/mm] alle nicht leer sein. Für [mm] $K_3$ [/mm] werden die Bedingungen für die Lage des Mittelpunkts und die Größe des Radius noch enger. Dann kommt [mm] $K_4$ [/mm] dazu. Für die Schnitte mit [mm] $K_1$ [/mm] und [mm] $K_2$ [/mm] gelten die gleichen Bedingungen wie bei [mm] $K_3$. [/mm] Nun bestimme die weiteren Bedingungen für [mm] $K_4$ [/mm] die alle weiteren Schnittkombinationen mit [mm] $K_3$ [/mm] erforde rn.
Das scheint so aber eine Fleißarbeit im Erbsenzählen zu sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Fr 02.11.2012 | | Autor: | HelpMan |
Genau, dass meinte ich und hab ich auch versucht. Bis mir iwann die Geduld ausging alle Kombinationen zu erzeugen.
Vielleicht gibt es auch eine Elegantere Lösung bzw. Ansatz.
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