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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:01 Do 05.11.2009 | | Autor: | Arisen89 |
| Aufgabe | Seien U1 und U2 zwei Unterräume eines reellen Vektorraumes V.
(a) Beweisen Sie, dass der Durschnitt von U1 und U2 auch ein Unterraum von V ist. |
Ich weiss, dass man die 2 axiomen von Unterräumen beweisen soll. Aber jetzt weiss ich nicht wo ich anfangen soll. Eigentlich habe ich versucht v=v1+v2 [mm] \in [/mm] U1 und w=w1+w2 [mm] \in [/mm] U2 und dann :
(v1+v2) + (w1+w2) = (v1+w1) + (v2+w2) dann weiss es nicht :( Hilfe bitte.
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> Seien U1 und U2 zwei Unterräume eines reellen Vektorraumes
> V.
> (a) Beweisen Sie, dass der Durschnitt von U1 und U2 auch
> ein Unterraum von V ist.
> Ich weiss, dass man die 2 axiomen von Unterräumen beweisen
> soll.
Hallo,
Du meinst die Unterraumkriterien.
Das sind drei und nicht zwei: es gehört noch dazu, daß [mm] U\not=\emptyset [/mm] - und das ist wichtig.
> Aber jetzt weiss ich nicht wo ich anfangen soll.
Kühlen Kopf bewähren.
Zu zeigen ist hier also:
1. [mm] U_1\cap U_2\not=\emptyset
[/mm]
2. [mm] v_1, v_2\in U_1\cap U_2 [/mm] ==> [mm] v_1+v_2\in U_1\cap U_2
[/mm]
3. [mm] v\in U_1\cap U_2, \lambda\in \IR [/mm] ==> [mm] \lambda [/mm] v [mm] \in U_1\cap U_2
[/mm]
Nun mal zu den Voraussetzungen:
es ist vorausgesetzt, daß [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] Unterräume von V sind.
also gilt (i=1,2)
1. [mm] U_i\not=\emptyset
[/mm]
2. [mm] v_1, v_2\in U_i [/mm] ==> [mm] v_1+v_2\in U_i
[/mm]
3. [mm] v\in U_i, \lambda\in \IR [/mm] ==> [mm] \lambda [/mm] v [mm] \in U_i
[/mm]
Jetzt kommt der Beweis:
zu1: [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] sind nach Voraussetzung Unterräume, also Vektorräume. Welches Element ist in jedem VR enthalten?
Folglich ist es auch im Schnitt.
zu 2. Seien [mm] v_1, v_2\in U_1\cap U_2.
[/mm]
Nun muß man sich mal überlegen, was es bedeutet, daß die im Schnitt liegen:
==> [mm] v_1, v_2\in U_1 [/mm] und [mm] v_1, v_2\in U_2
[/mm]
==> inwelchen Räumen liegt weshalb die Summe?
==> bedenke hier, was "Durchschnitt" bedeutet
zu 3. Das geht sehr ähnlich.
Gruß v. Angela
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