Vektorsystem linear unabhängig < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Do 28.01.2010 | | Autor: | mahone |
| Aufgabe | | [mm] \vektor{1 \\ 2}, \vektor{3 \\ 4}, \vektor{5 \\ -6}, \vektor{7 \\ 19} [/mm] |
Wie kann ich ein deartiges Vektorsystem auf lineare Abhängigkeit untersuchen? würdet ihr alle Vektoren untereinander auf eine Linearkombination vergleichen? Wie geht man am besten vor? Beste Grüße
|
|
| |
|
Hallo mahone,
> [mm]\vektor{1 \\ 2} \vektor{3 \\ 4} \vektor{5 \\ -6} \vektor{7 \\ 19}[/mm]
>
> Wie kann ich ein deartiges Vektorsystem auf lineare
> Abhängigkeit untersuchen? würdet ihr alle Vektoren
> untereinander auf eine Linearkombination vergleichen? Wie
> geht man am besten vor?
Jo, du könntest eine LK dieser Vektoren ansetzen, die den Nullvektor ergibt und würdest ruck zuck sehen, dass in dieser LK nicht alle Koeffizienten =0 sind (sein müssen), hättest also lineare Abh. des gegebenen Systems ...
Hier geht es aber mit ein wenig Theorie weit einfacher, weil du im 2-dimensionalen bist:
Es ist eine Menge mit drei oder mehr Vektoren stets linear abhängig.
(Analog ist im n-dimensionalen eine Menge mit mehr als n Vektoren immer linear abhängig)
Wenn du nun untersuchen möchtest, ob du durch Herausnahme von Vektoren ein l.u. System bekommen kannst, vergleiche paarweise zwei Vektoren.
Zwei Vektoren sind genau dann l.a., wenn sie Vielfache voneinander sind.
> Beste Grüße
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Do 28.01.2010 | | Autor: | mahone |
hey vielend dank erstmal...angenommen so eine frage kommt in der klausur. kann man das rechnerisch ermitteln. also ich hätte jetzt sämtliche vektoren paarweise in 2 dimensionale determinanten gepackt und diese dann ausgerechnet. nur ist da jede ungleich null, was doch ein zeichen für lineare unabhängigkeit ist.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> hey vielend dank erstmal...angenommen so eine frage kommt
> in der klausur. kann man das rechnerisch ermitteln. also
> ich hätte jetzt sämtliche vektoren paarweise in 2
> dimensionale determinanten gepackt und diese dann
> ausgerechnet. nur ist da jede ungleich null ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo viel Aufwand, das sieht man hier auf einen Blick, je zwei von den Vektoren sind keine Vielfachen voneinander
> , was doch ein zeichen für lineare unabhängigkeit ist.
Ja, die Vektoren sind paarweise (also je 2) linear unabhängig.
Dh, je 2 bilden eine Basis des - sagen wir - [mm] $\IR^2$ [/mm] (oder [mm] $\mathbb{K}^2$)
[/mm]
Aber das Gesamtsystem aus allen 4 Vektoren ist natürlich linear abhängig ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:29 Do 28.01.2010 | | Autor: | mahone |
| Aufgabe | | [mm] \vektor{2\\ -1\\-2\\3}, \vektor{1 \\ 1\\a\\2}, \vektor{2 \\ b\\6\\1} [/mm] |
danke erstmal, ich habs verstanden. nun habe ich folgendes. es sind a und b gesucht so dass das system linear abhängig wird. ich habe nun versucht das entstehende gleichungssystem in form einer matrix zu lösen aber irgendwie komme ich nicht recht zum ziel. kannst du mir bitte nochmal einen guten rat geben =)
|
|
|
| |
|
> [mm]\vektor{2\\ -1\\-2\\3}, \vektor{1 \\ 1\\a\\2}, \vektor{2 \\ b\\6\\1}[/mm]
>
> danke erstmal, ich habs verstanden. nun habe ich folgendes.
> es sind a und b gesucht so dass das system linear abhängig
> wird. ich habe nun versucht das entstehende
> gleichungssystem in form einer matrix zu lösen aber
> irgendwie komme ich nicht recht zum ziel. kannst du mir
> bitte nochmal einen guten rat geben =)
Hallo,
das, was Du versucht hast, klingt doch gar nicht dumm.
Den guten Rat könnte man Dir geben, würde man sehen was Du getan hast und wie weit Du gekommen bist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:23 Do 28.01.2010 | | Autor: | mahone |
Ok Z steht für die Zeile. Ich habe nach dem Gauß-Algorithmus aufgelöst. Z1+2*Z2, Z1+Z3 und 3*Z1-2*Z4. Nun sind in der ersten Spalte alle Faktoren = 0.
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 2& 0 \\ 0 & 3 & (2+2b)& -0\\ 0 & (1+a) & 8& 0 \\ 0 & -3 & 4& 0 }
[/mm]
nun kann man Z2+Z4 rechnen und erhält:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 2& 0 \\ 0 & 3 & (2+2b)& -0\\ 0 & (1+a) & 8& 0 \\ 0 & 0 & (6+2b)& 0 }
[/mm]
oder?
wenn dann kann man ja sagen dass (6+2b)z=0 sind???
ich gebe euch lieber erstmal gelegenheit euch anzusehen was ich verzapft habe bevor ich weiter schreibe. Vielen dank im voraus
|
|
|
| |
|
> Ok Z steht für die Zeile. Ich habe nach dem
> Gauß-Algorithmus aufgelöst. Z1+2*Z2, Z1+Z3 und 3*Z1-2*Z4.
> Nun sind in der ersten Spalte alle Faktoren = 0.
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 2& 0 \\ 0 & 3 & (2+2b)& -0\\ 0 & (1+a) & 8& 0 \\ 0 & -3 & 4& 0 }[/mm]
>
> nun kann man Z2+Z4 rechnen und erhält:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 2& |0 \\ 0 & 3 & (2+2b)& |0\\ 0 & (1+a) & 8&| 0 \\ 0 & 0 & (6+2b)& |0 }[/mm]
>
> oder?
>
> wenn dann kann man ja sagen dass (6+2b)z=0 sind???
Jetzt können wir so weitermachen:
1. Fall: 6+2b=0, dh. b=-3.
Dann haben wir weiter zu untersuchen die Matrix
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 2& |0 \\ 0 & 3 & -4& |0\\ 0 & (1+a) & 8&| 0 \\ 0 & 0 & 0& |0 }
[/mm]
2. Fall: [mm] b\not=-3. [/mm] dann können wir ddie letzte Zeile urch 6+2b dividieren und bekommen die Matrix
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 2& |0 \\ 0 & 3 & (2+2b)& |0\\ 0 & (1+a) & 8&| 0 \\ 0 & 0 & 1& |0 }, [/mm] welche nun weiteruntersucht wird.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
