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Hallo!
Im folgendem werde ich der Vollständigkeit halber alle Regeln, die wir in der Schule zu Vektoren aufgestellt haben aufschreiben und direkt darunter meine Fragen stellen.
Also in der Schule haben wir Folgendes aufgeschrieben:
"1.Fall(3Vektoren)=3Gleichungen und 3 Variablen:
a)Die Vektoren sind linearunabhängig
-das homogene System hat genau eine Lösung und zwar die Nulllösung
-jedes inhomogene System hat genau eine Lösung"
Frage: Warum hat jedes inhomogene System nur eine Lösung?
"b)Die Vektoren sind kinearabhängig
-das homogene System hat unendlich viele Lösungen
-jedes inhomogene System hat keine(der Lösungsvektor gehört nicht zum aufgespannten Unterraum) oder unendlich viele Lösungen"
Frage: Wieso gilt das? Könnte mir das jemand vielleicht anhand eines Beispieles erklären?
"2.Fallunglücklich weniger als 3 Vektoren)
a) Die Vektoren sind linearunabhängig
-Das homogene System hat genau eine Lösung und zwar die Nullösung
-die Vektoren erzeugen einen zweidimensionalen Unterraum des [mm] \mathbb [/mm] R ^{3} "
Frage: Ich dachte, dass [mm] \mathbb [/mm] R ^{n} auch immer mindestens n linearunabhängige Vektoren benötigt. Wieso haben wir hier nur 2 Vektoren?
"jedes inhomogene System hat genau eine (der Lösungsvektor gehört zum Unterraum)oder keine Lösung(der Lösungsvektor gehört nicht zum erzeugtem Unterraum)"
Frage: Wieso gilt hier nicht dasselbe wie bei Fall eins(3 linearunabhängige Vektoren und inhomogenes System)
"b)die Vektoren sind linearabhängig
-die Vektoren erzeugen einen eindimesnioanlen Unterraum des [mm] \mathbb [/mm] R ^{3} "
Frage: siehe zwei Fragen über dieser.
"-das homogene System hat unendlich viele Lösungen
-jedes inhomogene System hat unendlich viele(derLösungsvektor gehört zum Unterraum)oder keine Lösungen(der Lösungsvektor gehört nicht zum erzeugtem Unterraum)"
Frage: selber Frage wie bei Fall eins (linearabhängige mit inhomogenen System)
"3.Fall:mehr als drei Vektoren(drei Gleichungen und mehr als drei Variablen)
-die Vektoren sind linearabhängig
-die Vektoren erzeugen einen ein bis drei dimensionalen Unterraum des [mm] \mathbb [/mm] R ^{n} ?"
Frage: ähnliche Frage, wie schon vorher erwähnt: muss der Untervektorraum von [mm] \mathbb [/mm] R ^{n} nicht aus mindestens 3 Vektoren bestehen? Und können es auch nicht mehrdimensional sein?
"das homogene System hat unendlich viele (der Lösungsvektor gehört zum aufgespannten Unterraum) oder keine Lösungen(der Lösungsvektor gehört nicht zum aufgespannten Unterraum)"
Das scheinen nun viele Fragen zu sein, aber viele wiederholen sich. Ich wäre daher über hilfreiche Antowrten sehr dankbar!
MfG
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=457075
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Da hast du aber lange getippt.
Ich glaub nicht, dass ich alle mache. Auch wenn es sehr formal aussieht, habe ich mir Mühe gegeben aus ausführlich zu schreiben.
> Die Vektoren sind linearunabhängig
Du meinst die Spalten/ bzw. Zeilen deiner Koeffizienten Matrix.
> -das homogene System hat genau eine Lösung und zwar die Nulllösung
Normalerweise kann man über (außerhalb Schulstoff) das über Invertierbarkeit der Matrix beweisen.
Elementar geht es so:
Annahme: Es gibt einen Lösungsvektor [mm]x\neq 0[/mm] mit x löst das Gleichungssystem, also
[mm]a_{11}*x_1+a_{12}*x_2+a_{13}*x_3=0[/mm]
[mm]a_{21}*x_1+a_{22}*x_2+a_{23}*x_3=0[/mm]
[mm]a_{31}*x_1+a_{32}*x_2+a_{33}*x_3=0[/mm]
Die Vektoren [mm]v_i:=\vektor{a_{1i}\\
a_{2i}\\
a_{3i}}[/mm] sind linear unabhängig (Sind deine Spaltenvektoren) nach Vorraussetzung. Dann folgt aus dem Gleichungssystem
[mm]v_1*x_1+v_2*x_2+v_3*x_3=0[/mm] . Das ist ein Widerspruch zur lin. unabh. von [mm]v_1,v_2,v_3[/mm]. (der Vektor x hat ja mindestens einen Eintrag [mm]\neq 0[/mm])
> -jedes inhomogene System hat genau eine Lösung"
Genauso wie oben. Nimm an, es gibt zwei unterschiedliche Lösungen. Dann kannst du entweder schließen, dass sie am Ende gleich sind oder, dass eine Lösung der Nullvektor sein muss, dann hast du deinen Widerspruch.
x,y sind unterschiedliche Lösungen, dann
[mm]v_1*(x_1-y_1)+v_2*(x_2-y_2)+v_3*(x_3-y_3)=0[/mm] ...
Probier es selber und teile uns deine Schritte mit, da lernst du viel mehr.
> "b)Die Vektoren sind linearabhängig
> -das homogene System hat unendlich viele Lösungen
[mm]v_1,v_2,v_3[/mm] sind linabh. Ohne Einschränkung ist [mm]v_3[/mm] lin. abh. von den anderen dann ist
[mm]v_1*x_1+v_2*x_2+v_3*x_3=v_1*x_1+v_2*x_2+(f_1*v_1+f_2*v_2)*x_3=v_1*(x_1+f_1*x_3)+v_2*(x_2+f_2*x_3)=0[/mm] (*)
Rest kannst du dir so SELBER überlegen: zu jeden [mm] $x_1,x_2$ [/mm] kann man ...
> -jedes inhomogene System hat keine(der Lösungsvektor gehört nicht zum
> aufgespannten Unterraum) oder unendlich viele Lösungen"
> Frage: Wieso gilt das? Könnte mir das jemand vielleicht anhand eines Beispieles erklären?
Probier mal
$2x+3y=5$
$2x+3y=6$
zu lösen.
Allegemein kannst du dass dir auch an (*) überlegen. Teile uns deine Fortschritte mit.
> a) Die Vektoren sind linearunabhängig
> -Das homogene System hat genau eine Lösung und zwar die Nullösung
also dein Gleichungssystem
[mm]a_{11}*x_1+a_{12}*x_2+a_{13}*x_3=0[/mm]
[mm]a_{21}*x_1+a_{22}*x_2+a_{23}*x_3=0[/mm]
[mm]a_{31}*x_1+a_{32}*x_2+a_{33}*x_3=0[/mm]
Die Vektoren [mm]v_i:=\vektor{a_{1i}\\
a_{2i}\\
a_{3i}}[/mm] sind linear unabhängig (Sind deine Spaltenvektoren) nach Vorraussetzung, d.h. aus
[mm]v_1*x_1+v_2*x_2+v_3*x_3=0[/mm] . folgt stets [mm] $x_1=x_2=x_3=0$
[/mm]
> -die Vektoren erzeugen einen zweidimensionalen Unterraum des [mm] $\IR [/mm] ^{3}$ "
> Frage: siehe zwei Fragen über dieser.
Löse das LGS und gib den Unterraum an
$2x+3y=0$
$2x+4y=0$
Dann probiere das GLS
[mm]a_{11}*x_1+a_{12}*x_2=0[/mm]
[mm]a_{21}*x_1+a_{22}*x_2=0[/mm]
allgemein zu lösen. Als Lösung solltest du eine Linearkombination von Vektoren heraus bekommen.
....
Das geht alles nach dem Muster. Das Gleichungssystem als Gleichung von Linearkombinationen der Spaltenvektoren zu verstehen und aus der lin. (un)abh. Schlüsse zu folgern. Vielleicht reicht das für den Anfang.
Ich lasse es mal auf teilweise beantwortet, da ich nicht weiß, wie weit ihr in der Schule damit umgegangen seid.
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Hi,
vielen Dank für deine Antwort!
"$ [mm] v_1\cdot{}(x_1-y_1)+v_2\cdot{}(x_2-y_2)+v_3\cdot{}(x_3-y_3)=0 [/mm] $ ...
Probier es selber und teile uns deine Schritte mit, da lernst du viel mehr. "
Ah jetzt verstehe ich: die Faktoren der Vektoren müssen alle null sein(linearunabhängig), welches nur sein kann, wenn x und y gleich sind, richitg?
"Probier mal
$ 2x+3y=5 $
$ 2x+3y=6 $
zu lösen.
Allegemein kannst du dass dir auch an (*) überlegen. Teile uns deine Fortschritte mit."
Also es kommt bei mir heraus: 0=1
"Löse das LGS und gib den Unterraum an
$ 2x+3y=0 $
$ 2x+4y=0 $"
Also hier bekomme ich 0=0 heraus.
Wie genau habe ich diese Ergebnisse zu interpretieren?
"Dann probiere das GLS
$ [mm] a_{11}\cdot{}x_1+a_{12}\cdot{}x_2=0 [/mm] $
$ [mm] a_{21}\cdot{}x_1+a_{22}\cdot{}x_2=0 [/mm] $"
Das kann ich doch gar nicht lösen, weil ich zwei Gleichungen und vier verschiedene Variablen habe, oder?
MfG
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Hallo!
Du kannst es dir anschaulich erklären:
Angenommen, du hast die Vektoren [mm] \vec{a}=\vektor{1\\0}, \vec{b}=\vektor{0\\1}, \vec{c}=\vektor{1\\1}
[/mm]
[mm] \vec{c} [/mm] ist sicher eine Kombination aus [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}, [/mm] das heißt, das homogene GL-System
[mm] p*\vec{a}+q*\vec{b}=\vec{c}
[/mm]
hat exakt eine Lösung.
Wären [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] linear abhängig, also in dem Fall parallel, könntest du p beliebig wählen, und würdest immer ein q finden, sodaß die Gleichung erfüllt wäre. In dem Fall gäbe es unendlich viele Lösungen.
Nun hast du
[mm] \vec{d}=\vektor{1\\0\\0}, \vec{e}=\vektor{0\\1\\0}, \vec{f}=\vektor{1\\1\\0}, \vec{g}=\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Es sollte klar sein, daß du [mm] \vec{g} [/mm] nicht durch die ersten drei Vektoren darstellen kannst. Das Gleichungssystem hat dann keine Lösung.
Um nochmal auf [mm] p*\vec{a}+q*\vec{b}=\vec{c} [/mm] zurück zukommen:
Man kann die Rolle der Vektoren vertauschen, dann kann man allgemeiner schreiben:
[mm] p*\vec{a}+q*\vec{b}+r\vec{c}=\vec{0}
[/mm]
Sind die drei parallel, gibt es da unendlich viele Lösungen!
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Hi!
Vielen Dank für deine Antwort!
"Angenommen, du hast die Vektoren $ [mm] \vec{a}=\vektor{1\\0}, \vec{b}=\vektor{0\\1}, \vec{c}=\vektor{1\\1} [/mm] $
$ [mm] \vec{c} [/mm] $ ist sicher eine Kombination aus $ [mm] \vec{a} [/mm] $ und $ [mm] \vec{b}, [/mm] $ das heißt, das homogene GL-System "
Du hast geschrieben "das homogene" System. Wäre das hier nicht das inhomogene Sytem? Beim homogenen System ist der Lösungsvektor, meine ich, die Nulllösung, oder?
"Es sollte klar sein, daß du $ [mm] \vec{g} [/mm] $ nicht durch die ersten drei Vektoren darstellen kannst. Das Gleichungssystem hat dann keine Lösung."
Das verstehe ich, aber gilt das dann nicht auch bei linearunabhängigen Systemen ?
Vielen Dank im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 24.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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