Vektorrechnung Höhe Dreieck < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Sa 30.01.2010 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Länge der Höhe [mm] h_a [/mm] im Dreieck ABC.
A(-3 / -2 / 0) ; B(4 / 3 / 1) ; C(5 / 6 / 5) |
Moin,
zunächst habe ich mir als Lösungsweg gedacht:
1. Ich bilde die Richtungsvektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC}
[/mm]
Ich erhalte also
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AB} [/mm]
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AC}
[/mm]
2. Ich suche den Schnittpunkt S von [mm] \vec{a} [/mm] mit der Geraden g (zu bestimmen) --- mal davon abgesehen, dass ich dann die Strecke [mm] \overline{SC} [/mm]
[mm] h_c [/mm] nennen würde, aber was soll's.
3. C ist der Aufpunkt meiner Geraden g
4. Den Richtungsvektor meiner Geraden g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{c} [/mm] + [mm] r*\vec{u} [/mm]
erhalte ich über das Skalarprodukt... denn es gilt ja
1. [mm] \vec{a}*\vec{u}= [/mm] 0
2. [mm] \vec{n}*\vec{u}= [/mm] 0 denn der Richtungsvektor [mm] \vec{u} [/mm] der Geraden steht ja ebenfalls senkrecht zum Normalenvektor der von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] aufgespannten Ebene.
usw.
Aber es gibt offenbar einen einfacheren Weg.
[mm] h_a [/mm] = [mm] \bruch{| \vec{a} x \vec{b} |}{| \vec{a} |}
[/mm]
Leider verstehe ich diesen Ansatz nicht! Wie kommt man darauf?
Ich weiss nur, dass | [mm] \vec{a} [/mm] x [mm] \vec{b} [/mm] | die Fläche des Parallelogramms ist, und | [mm] \vec{a} [/mm] | die Seitenlänge a.
In meiner Formelsammlung finde ich nur
[mm] \bruch{h_a}{h_b} [/mm] = [mm] \bruch{a}{b}
[/mm]
Besteht da ein Zusammenhang?
Vielen Dank für eure Hilfe!!
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> Berechnen Sie die Länge der Höhe [mm]h_a[/mm] im Dreieck ABC.
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> A(-3 / -2 / 0) ; B(4 / 3 / 1) ; C(5 / 6 / 5)
> Moin,
>
> zunächst habe ich mir als Lösungsweg gedacht:
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> 1. Ich bilde die Richtungsvektoren [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm]
>
> Ich erhalte also
>
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\overrightarrow{AB}[/mm]
> [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\overrightarrow{AC}[/mm]
Hallo,
ja, | [mm]\vec{a}[/mm] x [mm]\vec{b}[/mm] | ist die Fläche des Parallelogramms, [mm] \bruch{1}{2}|[/mm] [mm]\vec{a}[/mm] x [mm]\vec{b}[/mm] | also die des Dreiecks.
Gleichzeitig ist [mm] \bruch{1}{2}*|\vec{a}|*h_a [/mm] die Dreiecksfläche. Nun gleichsetzen und nach [mm] h_a [/mm] auflösen.
Gruß v. Angela
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