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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 So 21.08.2005 | | Autor: | Bina02 |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
Hallo ihr Lieben! :)
Zur Zeit bearbeite ich mal wieder eine Hausaufgabe zu der Thematik Vektorrechnung und Ebenengleichung. Den größten Teil habe ich schon geschafft, doch nun hänge ich etwas fest und hoffe ihr könnt mir vielleicht weiterhelfen. Da es sich um Teilaufgaben handelt, poste ich sie jeweils in einem einzelnen Thread, also nicht wundern über die Anzahl der Beiträge ;)
Also die Aufgabe lautet zunächst:
Betrachten sie im [mm] \IR^3 [/mm] die Punkte Ax( -x;-8;1), Bx(4;-4;2x) und
C (0;-8;4).
Die Ebene, die durch diese drei Punkte bestimmt wird, nennen wir Ex.
Teilaufgabe 1a) Hab ich schon komplett gelöst, würde aber gern wissen ob es so korrekt ist. :)
Geben sie A1 und B1 an und weisen sie nach, dass die Vektoren
[mm] \vec{CA1} [/mm] und [mm] \vec{CB1} [/mm] linear unabhängig sind. Zeigen sie dann, dass die Vektoren [mm] \vec{CAx} [/mm] und [mm] \vec{CBx} [/mm] sogar für jedes beliebige x [mm] \in\IR [/mm] linear unabhängig sind.
- Meine bisherige Lösung: A1 = (-1,-8,1) , B1 = (4, -4, 2)
[mm] \vec{CA1} [/mm] = (-1,0,-3)
[mm] \vec{CB1} [/mm] = (4,4,-2)
[mm] \vec{CC1}= [/mm] (0,0,0)
Die Vektoren [mm] \vec{CA1} [/mm] und [mm] \vec{CB1} [/mm] sind linear unabhängig, wenn aus
a1 * [mm] \vec{CA1} [/mm] + a2 * [mm] \vec{CB1} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] folgt, dass a1 = a2 = 0
a1 * (-1,0,-3) + a2 * (4,4,-2) = (0,0,0) [mm] \Rightarrow [/mm]
I. a1 + 4*a2 = 0
II. 4*a2 = 0
III. 3*a1 2*a2 = 0
Aus II folgt a2 = 0
Eingesetzt in I: -a1 + 4*0 = 0 => a1 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \vec{CA1} [/mm] und [mm] \vec{CB1} [/mm] sind linear unabhängig.
Untersuchung für jedes beliebige x [mm] \in \IR:
[/mm]
[mm] \vec{CAx} [/mm] = (-x,0,-3)
[mm] \vec{CBx} [/mm] = (4,4,2x-4)
[mm] \vec{CC1}= [/mm] (0,0,0)
a1 * (-x,0,-3) + a2 * (4,4,2x-4) = (0,0,0) [mm] \Rightarrow [/mm]
I. a1*-x + 4*a2 = 0
II. 4*a2 = 0 => a2 = 0
III. 3*a1 + 2*a2*x 4*a2 = 0
Aus II folgt für III: -3*a1 + 2*0*x 4*0 = 0
=> -3*a1 = 0
=> a1 = 0
Eingesetzt in I: -x*0 + 4*0 = 0 [mm] \gdw [/mm] 0 = 0
=> Die Vektoren [mm] \vec{CAx} [/mm] und [mm] \vec{CBx} [/mm] sind für jedes beliebige
x [mm] \in \IR [/mm] linear unabhängig
Kann ich das als Nachweis so lassen?? Kommentare sind sehr erwünscht und werden dankend entgegen genommen. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 So 21.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Hi Bina,
das ist komplett richtig so 
Ich weiß nur nicht, was Du mit
CC1 = (0,0,0) meinst, denn einen Cx-Vektor kommt doch gar nicht vor...?
Das kannst Du weglassen.
Und eine Kleinigkeit:
ziemlich am Ende schreibst Du a1*-x Klammern nicht vergessen!
a1*(-x)
LG
djmatey
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