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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Do 07.04.2005 | | Autor: | uhland |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe eine Gerade in Vektorform gegeben g: x= (2/1/-4) + t (-5/1/1). Gesucht ist der Schnittpunkt mir der 1-2-Koordinatenebene?
Ist die Ebenendarstellung als Vektor
E: x= Po + n( x / 0/0)+m(0/y/0) korreckt? Wie errechnet man den Schnittpunkt?
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Hallo uhland!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe eine Gerade in Vektorform gegeben g: x= (2/1/-4) +
> t (-5/1/1). Gesucht ist der Schnittpunkt mir der
> 1-2-Koordinatenebene?
>
> Ist die Ebenendarstellung als Vektor
>
> E: x= Po + n( x / 0/0)+m(0/y/0) korreckt? Wie errechnet man
> den Schnittpunkt?
Fast.  Du hast in die richtige Richtung gedacht. Erstmal kannst du für [mm] p_0 [/mm] den Punkt [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] wählen, denn der Ursprung liegt ja natürlich in jeder Koordinatenebene. Und dann wird die [mm] x_1x_2-Ebene [/mm] z. B. durch die beiden Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] aufgespannt, du kannst also theoretisch für x und y jeden beliebigen Wert einsetzen. Wenn du aber allgemein x und y schreibt, kommst du bei deiner Aufgabe wohl nicht weiter.
Also schreiben wir doch einfach (man nimmt meistens die Einheitsvektoren, also wo nur eine Koordinate 1 ist und der Rest =0):
E: [mm] \vec{x}=n\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+m\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
So, und wie bestimmt man nun den Schnittpunkt? Durch Gleichsetzen!  . Du setzt also die Ebenengleichung mit der Geradengleichung gleich und erhältst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, das du lösen kannst. Schaffst du das alleine?
Zur Kontrolle: ich erhalt als Schnittpunkt:
[mm] \vektor{-18 \\ 5 \\ 0}
[/mm]
Du hättest es auch anders machen können, nämlich durch Überlegen:
Wenn die Gerade die [mm] x_1x_2-Ebene [/mm] schneiden soll, was muss dann sein? Dann muss die dritte Koordinate gleich 0 sein, denn bei der [mm] x_1x_2-Ebene [/mm] ist ja auch die dritte Koordinate gleich 0. Du hättest also auch direk schreiben können:
-4+t=0
[mm] \gdw
[/mm]
t=4
Und das setzt du einfach in die Geradengleichung ein und erhältst den Schnittpunkt.
So wie du es machen wolltest, bekommst du noch die Werte für m und n heraus und kannst dann auch dort den Schnittpunkt berechnen, der natürlich der Gleiche sein muss. Aber so könntest du es noch kontrollieren.
Es sind also beide Lösungswege genauso richtig.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Do 07.04.2005 | | Autor: | uhland |
Irgendetwas stimmt da nicht! Die Lösung - ich habe sie im Buch gefunden- lautet dort P (22/-3/0).
Ich verstehe deinen Lösungsweg! Aber lügt das Buch! Haben wir hier einen denkfehler gemacht.??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Do 07.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo uhland!
Hast Du Dich vielleicht vertippt bei der Geradengleichung?
Du hast geschrieben: $g \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -4} [/mm] + t * [mm] \vektor{\red{-} 5 \\ \blue{+}1 \\ 1}$
[/mm]
Wenn der Richtungsvektor aber [mm] $\vektor{\red{+} 5 \\ \blue{-}1 \\ 1}$ [/mm] lauten würde, käme das Ergebnis aus Deinem Buch heraus.
Bitte schau' doch nochmal nach ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Do 07.04.2005 | | Autor: | uhland |
Habe meinen Fehler entdeckt! der vektor g lautet richtig:
x= (2/1/4) + t (-5/1/1) , mein Vorzeichenfehler!
Christiane, tut mir leid!!!
Vielen Dank!!!
Frank
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