Vektorraum über Z/pZ < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Di 30.11.2010 | | Autor: | void. |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über F = Z/pZ, p prim, der Dimension [mm] dim_F [/mm] V = n.
Wieviele Vektoren gibt es in V ? |
Hallo,
ich bin zu der Aufgabe etwas überfragt.
Bisher hab ich eigtl nur,
dass #V := Anzahl der Vektoren..... #V [mm] \ge [/mm] n
Da Basen in jedem Fall in dem VR liegen.
Bei n=1 existiert dann nur eine Basis, aber p verschiedene Elemente aus Z/pZ mit denen der eine Vektor mult. werden kann, also #V = p ?
bei n=2 hab ich 2 vekt auf die ich alle äq klassen von Z/pZ dran mult. kann.
also wären dann in diesem Fall alle Permutationen = [mm] p^2 [/mm] = #V ?
(passt zumindest für p=3 und p=2)
das sieht dann ziemlich stark nach [mm] p^n [/mm] aus, wobei das sogar für dim = 0 passt mit einem Vektor.
bin ich zumindest am richtigen weg?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Di 30.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast Recht. ich würd das mit induktion zeigen. wenn es für n richtig ist, dann für einen n-dimunterraum des n+1 dimensionalen.
oder du nimmst dir ne Basis, [mm] b_i [/mm] und alle Vektoren kannst du mit [mm]\summe_{i=1}^{n} z_i*b_i[/mm] bestimmen. jedes [mm] z_i [/mm] kann p Werte annehmen. also auch insgesamt [mm] p^n [/mm] verschieden [mm] z_i.
[/mm]
Gruss leduart
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