Vektorraum über Fp < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Mo 06.10.2014 | | Autor: | soulflow |
| Aufgabe | | Sei [mm]K[/mm] ein endlicher Körper und sei [mm]char(K) = p[/mm] (p ist Primzahl) Zeigen Sie, dass K ein [mm]\IF_{p}[/mm] -Vektorraum ist und die Ordnung von K eine Potenz von p ist. |
Hallo,
habe einige Probleme mit der Aufgabe. Meine Idee wäre:
[mm] K = \{k_{0}, k_{1}, k_{2}, ... ,k_{p-1}\}[/mm]
[mm] \IF_{p} = \{1, 2, ..., p-1\}[/mm]
[mm] p*k_{1} = k_{0}[/mm]
[mm] * := \IF \to K, (\lambda, k_{i}) \to k_{[i*\lambda]_{p}}[/mm]
(i) [mm] \lambda, \mu \in \IF_{p}[/mm] und [mm]k_{i} \in K[/mm]
[mm] (\lambda + \mu) * k_{i} = [\lambda + \mu]_{p} * k_{i} = k_{[\lambda + \mu]_{p}*i} = k_{[\lambda*i + \mu*i]_{p}} = k_{[\lambda*i]_{p}} + k_{[\mu*i]_{p}} = \lambda*k_{i} + \mu*k_{i}[/mm]
...
Aber das würde doch nur funktionieren wenn K zyklisch wäre und das ist ja nicht gegeben. Also müsste es doch einen anderen Weg geben.
Hoffe ihr könnt mir wieder einmal helfen, danke im Vorraus
mfg.
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Hallo,
Ich würde das ganze wiefolgt ordnen:
(i) Ist $ F $ ein Körper und $ [mm] E\subseteq [/mm] F $ ein Teilkörper, so ist jeder $ F $-Vektorraum in natürlicher Weise ein $ E $-Vektorraum.
(ii) Es ist [mm] $\operatorname [/mm] {char} K=p $ genau dann, senn der von $1$ erzeugte Unterkörper isomorph zu [mm] $\IF_p [/mm] $ ist.
Hieraus folgt dann, dass man aus $ K $ auf natürliche Weise zu einem [mm] $\IF_p [/mm] $-Vektorraum machen kann.
Ihr habt sicherlich bereits gezeigt, dass jeder Vektorraum eine Basis hat. Jeder $ L $-Vektorraum hat also die Form [mm] $\bigoplus_i [/mm] L $. Wende das auf [mm] $L=\IF_p [/mm] $ an und verwende die Endlichkeit von $ K $.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mo 06.10.2014 | | Autor: | soulflow |
Vielen Dank für deine Antwort. Der erste Teil kommt mir bekannt und macht für mich Sinn. Also in meinen eigenen Worten auf die Aufgabe angewandt:
[mm]\IL \subset \IK[/mm]. Dann ist [mm]\IK[/mm] ein [mm]\IL[/mm]-Vektorraum, wenn [mm](\IL, +)[/mm] eine abelsche Gruppe ist und die Multiplikation
[mm] * := \IK \times \IK \to \IK[/mm] auf
[mm] * := \IL \times \IK \to \IK[/mm]
einschränken und somit eine Skalarmultiplikation von [mm]\IL[/mm] auf [mm]\IK[/mm] erhalten? Dann reicht es ja zu zeigen, dass es einen Isomorpohmis vom [mm]1_{k}[/mm] erzeugte Unterkörper nach [mm]\IF_{p}[/mm] gibt. Denn daraus würde resultieren, dass [mm]\IK[/mm] auch ein [mm]\IF_{p}[/mm]- Vektorraum ist. Habe ich das so richtig verstanden? Die Basis haben wir bereits definiert. Mir ist aber [mm]$ \bigoplus_i L $[/mm] unbekannt. Was genau bedeutet das?
Vielen Danke für deine Hilfe.
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Hallo,
> Vielen Dank für deine Antwort. Der erste Teil kommt mir
> bekannt und macht für mich Sinn. Also in meinen eigenen
> Worten auf die Aufgabe angewandt:
>
> [mm]\IL \subset \IK[/mm]. Dann ist [mm]\IK[/mm] ein [mm]\IL[/mm]-Vektorraum, wenn
> [mm](\IL, +)[/mm] eine abelsche Gruppe ist und die Multiplikation
> [mm]* := \IK \times \IK \to \IK[/mm] auf
> [mm]* := \IL \times \IK \to \IK[/mm]
> einschränken und somit eine Skalarmultiplikation von [mm]\IL[/mm]
> auf [mm]\IK[/mm] erhalten?
Also das würde ich anders formulieren. Es wird schon vorausgesetzt, dass [mm] $L\subseteq [/mm] K$ ein Körper ist. Nicht nur eine abelsche Gruppe oder gar nur eine Teilmenge.
Wenn ich jetzt einen $K$-Vektorraum $V$ habe, mit der Vektoraddition [mm] $V\times V\longrightarrow [/mm] V$ und der Skalarmultiplikation [mm] $K\times V\longrightarrow [/mm] V$, dann kann ich diese zweite Abbildung einschränken auf [mm] $L\times V\longrightarrow [/mm] V$ und somit wird $V$ zu einem $L$-Vektorraum.
Etwas konzeptioneller kann man das einsehen, wenn man weiß, dass ein $K$-Vektorraum $V$ dasselbe ist, wie eine abelsche Gruppe $(V,+)$ zusammen mit einem Ringhomomorphismus [mm] $K\longrightarrow\operatorname{End}V$. [/mm] Durch vorschalten der Inklusion [mm] $L\longrightarrow [/mm] K$ wird dann $V$ zu einem $L$-Vektorraum. Es ist aber nicht schlimm, wenn dir diese Begriffe noch nicht bekannt sind.
> Dann reicht es ja zu zeigen, dass es
> einen Isomorpohmis vom [mm]1_{k}[/mm] erzeugte Unterkörper nach
> [mm]\IF_{p}[/mm] gibt. Denn daraus würde resultieren, dass [mm]\IK[/mm] auch
> ein [mm]\IF_{p}[/mm]- Vektorraum ist. Habe ich das so richtig
> verstanden?
Ja.
> Die Basis haben wir bereits definiert. Mir ist
> aber [mm]$ \bigoplus_i L $[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
unbekannt. Was genau bedeutet das?
Das war eine sehr reduzierte Schreibweise des folgenden: Sei $I$ eine Indexmenge und $(V_i)$ die Familie der $\IF_p$-Vektorräume mit $V_i=\IF_p$ für alle $i$. Dann ist $\oplus_{i\in I}V_i=\oplus_i}\IF_p$ einfach ein Vektorraum mit einer Bais, die gleichmächtig zu $I$ ist. Es genügt aber das Folgende:
Ist $K$ ein Körper und $V$ ein endlich-dimensionaler $K$-Vektorraum, so ist $V$ isomorph zu $K^n$ mit $n=\dim K$. Etwas derartiges habt ihr sicherlich schon gezeigt, oder?
Da $K=\IF_p$ $p$ Elemente hat, hat $\IF_p^n$ genau $p^n$ Elemente.
> Vielen Danke für deine Hilfe.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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