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Vektorraum reellwertiger Funk.: Zeigen,dass reeller Vektorraum
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:09 Fr 11.11.2005
Autor: heine789

Hallo zusammen.

Habe eine Aufgabe, aber keine Ahnung wie ich die lösen soll:

Betrachtet werde die Menge V aller auf R definierten reellwertigen Funktionen. Auf V werde eine Addition und auf R x V eine skalare Multiplikation erklärt durch

(f+g)(x) := f(x) + g(x)              für alle x aus R
(a * f)(x) := a * f(x)            für alle x aus R

Zeigen Sie, das (V,+,*) einen reelen Vektorraum mit der Menge der Polynome vom Maximalgrad n als Unterraum bildet.

Hat jemand eine Idee? Es wäre schon eine große Hilfe, wenn ich wüsste, was schrittweise zu machen ist.

Gruß

        
Bezug
Vektorraum reellwertiger Funk.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 Fr 11.11.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Du musst natürlich die Vektorraumaxiome nachweisen. Da die Definition der Addition komponentenweise geschieht, folgen alle Gesetze unmittelbar aus der Tatsache, das [mm] $(\IR,+)$ [/mm] ein Vektorraum über sich selbst ist.

Das neutrale Element ist die konstante Nullfunktion.

Zum Unterraum: Du musst dir überlegen, dass die Menge der Polynomfunktionen vom Maximalgrad $n$ nicht leer ist (klar) und dass mit zwei Polynomfunktionen vom Maximalgrad $n$ jede Linearkombination dieser Polynomfunktionen ebenfalls ein Polynomfunktion vom Maximalgrad $n$ ist.

Es gilt aber offenbar:

$Grad(f+g) [mm] \le \max\{Grad(f), Grad(g)\}$. [/mm]

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
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