Vektorraum oder nicht? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gibt es eine [mm] \IC-Vektorraumstruktur [/mm] auf [mm] \IR [/mm] derart, dass die Einschränkung der Skalarmultiplikation: [mm] \IC [/mm] x [mm] \IR [/mm] auf [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] die übliche Multiplikation in [mm] \IR [/mm] ergibt? |
Hallo zusammen,
obige Aufgabe lässt mich etwas ratlos zurück. Insbesondere die Aufgabenstellung selbst will mir nicht ganz klar werden.
Meine bisherige Überlegung ist, dass [mm] \IR [/mm] ja in [mm] \IC [/mm] enthalten ist und so lang bloß [mm] \IR [/mm] -Elemente von [mm] \IC [/mm] als Skalare benutzt werden ergibt das schon die "übliche Multiplikation". Ist dies allerdings eine gültige "Vektorraumstruktur auf [mm] \IR [/mm] "?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gibt es eine [mm]\IC-Vektorraumstruktur[/mm] auf [mm]\IR[/mm] derart, dass
> die Einschränkung der Skalarmultiplikation: [mm]\IC[/mm] x [mm]\IR[/mm] auf
> [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR[/mm] die übliche Multiplikation in [mm]\IR[/mm] ergibt?
> Hallo zusammen,
>
> obige Aufgabe lässt mich etwas ratlos zurück. Insbesondere
> die Aufgabenstellung selbst will mir nicht ganz klar
> werden.
> Meine bisherige Überlegung ist, dass [mm]\IR[/mm] ja in [mm]\IC[/mm]
> enthalten ist und so lang bloß [mm]\IR[/mm] -Elemente von [mm]\IC[/mm] als
> Skalare benutzt werden ergibt das schon die "übliche
> Multiplikation". Ist dies allerdings eine gültige
> "Vektorraumstruktur auf [mm]\IR[/mm] "?
nein. Die Frage ist ja mit Absicht so gestellt, dass [mm] $\IR$ [/mm] als [mm] $\IC$-Vektorraum [/mm] aufgefasst werden soll. Das heißt insbesondere, dass dieser [mm] $\IC$-Vektorraum [/mm] bzg. der Skalarmultiplikation abgeschlossen sein muss.
Also:
Wenn [mm] $\IR$ [/mm] eine [mm] $\IC$-Vektorraumstruktur [/mm] ist, so muss für jedes $r [mm] \in \IR$ [/mm] gelten [mm] ($\odot$ [/mm] stehe für die Skalarmultiplikation):
[mm] $\lambda \odot [/mm] r [mm] \in \IR$ [/mm] für alle [mm] $\lambda \in \IC\,.$ [/mm]
Und für [mm] $\lambda=i$, [/mm] $r=1$ und [mm] $\odot=*$ [/mm] ist [mm] $\lambda*r=i*1=i \in \IC \setminus\IR \,.$
[/mm]
Mit anderen Worten: Die Skalarmultiplikation kannst Du nicht so definieren, wie wenn man einfach in [mm] $\IC$ [/mm] rechnen würde.
Aber die "übliche" Multiplikation ist ja erstmal nur eine Idee für eine Definition einer Skalarmultiplikation für [mm] $\IR$ [/mm] als [mm] $\IC$-Vektorraum, [/mm] die leider nicht funktioniert.
Wer sagt, dass es keine andere Skalarmultiplikation [mm] $\odot: \IC \times \IR \to \IR$ [/mm] gibt, die vll. geeignet ist? Und wenn Du das sagst, solltest Du es beweisen 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Mi 03.12.2008 | | Autor: | karlhungus |
vielen dank für die schnelle antwort. nach deinen erläuterungen habe ich nun auch die eigentliche aufgabestellung verstanden (was wohl die eigentliche aufgabe war). eigentlich ganz einfach!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> vielen dank für die schnelle antwort. nach deinen
> erläuterungen habe ich nun auch die eigentliche
> aufgabestellung verstanden (was wohl die eigentliche
> aufgabe war). eigentlich ganz einfach!
wenn Du magst, kannst Du ja mal Deine Lösung präsentieren (ohne es vollständig durchdacht zu haben, wird sich wohl, wenn man annimmt, dass es einen solchen [mm] $\IC$-VR [/mm] gibt, ein Widerspruch zu dem Satz [mm] $\lambda\odot [/mm] v=0$ [mm] $\gdw$ $\lambda=0=0_{K}$ [/mm] oder [mm] $v=0=0_{V}$ [/mm] (hier mit [mm] $\IK=\IC$ [/mm] und [mm] $V=\IR$) [/mm] erzeugen lassen; aber vll. vertue ich mich da auch...).
P.S.:
Ich habe mir gerade folgendes überlegt, überprüfe vll. mal, ob das mit Deiner Lösung übereinstimmt:
Annahme: $i [mm] \odot 1_{\IR} \not=0_{\IR}\,.$ [/mm] Dann wäre also $i [mm] \odot [/mm] 1=:s [mm] \in \IR \setminus\{0\}\,.$
[/mm]
Das liefert aber (weil nach Voraussetzung [mm] $s*1=s\odot [/mm] 1$ wegen $s [mm] \in \IR$ [/mm] (und auch $1 [mm] \in \IR$))
[/mm]
[mm] $$0=\underbrace{i \odot 1 - s}_{\text{bea.: das } - \text{ ist bzgl. einer Addition }\oplus: \IR \times \IR \to \IR \text{ anzusehen}}=\underbrace{i \odot 1-s*1}_{-\text{ wieder bzgl.} \oplus}=\underbrace{i \odot 1-s \odot 1}_{-\text{ wieder bzgl.} \oplus}=\underbrace{(i-s)}_{\text{hier: } - \text{ bzgl. der gewöhnlichen Substraktion in }\IC} \odot 1\,,$$
[/mm]
obwohl [mm] $i-s\not=0=0_{\IC}$ [/mm] und $1 [mm] \not=0=0_{\IR}\,.$ [/mm] Widerspruch.
Also muss $i [mm] \odot [/mm] 1=0$ gelten, was aber wegen $i [mm] \not=0=0_{\IC}$ [/mm] und $1 [mm] \not=0=0_{\IR}$ [/mm] nicht sein kann.
Gruß,
Marcel
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