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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Do 14.06.2007 | | Autor: | vohigu |
| Aufgabe | Sei V der reelle Vektorraum der Polynome f(X) = a0 + a1X + a2X² + a3X³ + . . . + [mm] anX^n [/mm] über den reellen Zahlen. Sind die folgenden Teilmengen U1 und U2 von V auch Untervektorräume?
U1 = {f(X) = a1X + a3X³ + [mm] a5X^5 [/mm] + . . . + a2n+1 X2n+1| n [mm] \varepsilon [/mm] N und ai [mm] \varepsilon [/mm] R}
U2 = V \ U1.
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Meine Frage ist wie rechne ich soetwas eigentlich genau?
wäre dankbar für einen konktreten lösungsweg.
danke euch schon mal:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten Abend
also zu überprüfen ist ob U1= { f(x) = [mm] a_{1}x [/mm] + [mm] a_{3}x^3 [/mm] + [mm] a_{5}x^5 [/mm] + . . . + [mm] a_{2n+1} x^{2n+1}} [/mm] Dass sind alles Polynome mit ungeradem Exponenten.
Nun muss du Überprüfen ob die Unterraumkriterien gelten
1. 0 [mm] \in [/mm] U1
2. [mm] f(x)_{1}+f(x)_{2} \in [/mm] U1 wenn [mm] f(x)_{1} [/mm] und [mm] f(x)_{2} \in [/mm] U1 Abgeschlossenheit bzgl Addition
3. k*f(x) [mm] \in [/mm] U1 für k [mm] \in \IR f(x)\in [/mm] U1
Also fangen wir an.
Ist die Null in U1? Ja ist sie wenn ich alle Koeffizienten 0 wähle. Also ist 0 [mm] \in [/mm] U1.
Jetzt nimmst du dir zwei Polynome aus der Menge: Dann haben beide Ungeraden Grad. Dann kann es schlimmsten Falls passieren das [mm] a_{i}=-a_{i} [/mm] für alle i. Dann heben sich ja alle Terme weg und es bleibt 0 stehen. 0 ist aber [mm] \in [/mm] U1. Jetzt nehmen wir an das mindestens 1 Koeffizient des einen Polynoms verschieden vom Anderen Polynom ist. Dann bekommst du ein Polynom mit ungeradem Grad. und das liegt in U1.
Wenn du ein Polynom aus U1 mit einem Skalar [mm] \in \IR [/mm] Multiplizierst ändern sich die Koeffizienten nicht aber der Grad des Polynoms. Damit ist das ergebnis auch wieder in U1
Also ist U1 ein Unterraum.
Nun zu U2
Also U2 ist V [mm] \U1. [/mm] Dabei ist ja von der ganz normale Polynomring. Die Polynome ungeraden Grades haben wir ja schon weg. Was fehlt noch? Wenn du dir das überlegt hast geht der Beweis analog wie oben
Einen schönen ABend
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